Algebra Übungsblatt 1

Prof. Dr. Konrad Waldorf
Universität Greifswald
Wintersemester 2016
Algebra
Übungsblatt 1
Abgabe: 20.10.2016
Bei jeder Aufgabe können Sie 6 Punkte erreichen. Zur Bearbeitung einer Aufgabe gehört immer eine nachvollziehbare Begründung aller durchgeführten Schritte. Die Abgabe in Gruppen ist nicht gestattet.
Aufgabe 1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Eine Untermenge ∅ 6= U ⊆ G einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn für alle a, b ∈ U
gilt: ab−1 ∈ U .
(b) Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus sind Untergruppen.
(c) Ein Gruppenhomomorphismus ϕ ist genau dann injektiv, wenn Kern(ϕ) = {e} ist.
(d) Ist ϕ ein Gruppenhomomorphismus, so ist Kern(ϕ) normal.
(e) Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Zeigen Sie, dass die Menge der Linksnebenklassen und die
Menge der Rechtsnebenklassen gleichmächtig sind.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung eine Bijektion ist:
N
/ {U ⊆ Z | U ist Untergruppe} ;
m / mZ
Aufgabe 3. Es sei G eine Gruppe, H ⊆ G eine Untergruppe und N ⊆ G ein Normalteiler.
(a) Zeigen Sie, dass HN := {hn | h ∈ H, n ∈ N } eine Untergruppe von G, und N ⊆ HN ein Normalteiler
ist.
(b) Zeigen Sie, dass H ∩ N ein Normalteiler von H ist.
(c) Konstruieren Sie einen Isomorphismus H/(H ∩ N ) ∼
= HN/N .
Aufgabe 4. Wir arbeiten in der Gruppe GL2 (C).
(a) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, die als Eigenwerte von Matrizen A ∈ GL2 (C) mit endlicher
Ordnung auftreten können.
(b) Zeigen Sie, dass GL2 (Z) eine unendliche Untergruppe von GL2 (C) ist.
(c) Zeigen Sie, dass eine Matrix A ∈ GL2 (Z) nur die Ordnungen 1, 2, 3, 4, 6, 12 und unendlich haben kann.
Hinweis: Jordan-Normalform.