Universität Duisburg-Essen/Campus Essen Abgabe: Donnerstags
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Universität Duisburg-Essen/Campus Essen
Institut für experimentelle Mathematik
Prof. Dr. Dr. h.c. G. Frey
Abgabe: Donnerstags bis 10:00
T03 R02 D (Kasten LA II)
ÜG-Nr. angeben!
2. Übung zur Vorlesung Lineare Algebra II SS 2008
Aufgabe 1:
Es sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe. Ferner gelte |G/U | ≤ 2.
Zeigen Sie: U ist normal in G.
Aufgabe 2:
Es seien G, G1 , G2 Gruppen mit G1 / G und G2 < G. Es bezeichne < G1 ∪ G2 >
die kleinste Untergruppe in G, die G1 ∪ G2 enthält. Zeigen Sie: < G1 ∪ G2 >=
{g1 · g2 |g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 }. Stimmt die Aussage auch, falls G1 kein Normalteiler
von G ist?
Aufgabe 3:
Es seien G1 , G2 , G3 Gruppen mit G1 < G2 < G3 , sowie G1 / G3 und G2 / G3 . Es
sei ferner πG1 : G3 −→ G3 /G1 die Quotientenabbildung. Zeigen Sie:
• πG1 (G2 ) ∼
= G2 /G1
• πG1 (G2 ) / G3 /G1
• (G3 /G1 )/πG1 (G2 ) ∼
= G3 /G2 (Suggestiv: (G3 /G1 )/(G2 /G1 ) ∼
= G3 /G2 )
Aufgabe 4:
Es sei R[x] der Polynomring über R in einer Unbestimmten, sowie f (x) := x2 +1 ∈
R[x]. Es sei (f ) das von f in R[x] erzeugte Ideal. Zeigen Sie: R := R[x]/(f ) ist
ein Körper. (Hinweis: Rechnen Sie mit Polynom-Restklassen in R)
