Aufgabe 1

Stefan K.
7.Übungsblatt Algebra I
Aufgabe 1
Voraussetzung: G ist abelsche Gruppe, G besitzt eine Kompositionsreihe
Behauptung: G ist endlich
Beweis:
G beitze also eine Kompositionsreihe
G = G1 ⊃ . . . ⊃ Gm = {e}.
Eine Kompositionsreihe ist eine Normalreihe, deren Faktoren einfache
Gruppen sind. Dann ist also Gm−1 einfach, sowie alle Faktoren Gi /Gi+1 für
i ∈ {1, . . . , m − 2}.
Eine Gruppe H ist einfach, wenn H, {e} die einzigen Normalteiler von H
sind. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Ist H
abelsch und einfach, dann besitzt es nur die Untergruppen H, {e}. Damit ist
H also zyklisch, und von Primzahlordnung |H| = p, da 1 und p die einzigen
Teiler der Gruppenordnung sind.
Für die Faktoren gilt also mit dem Satz von Lagrange
|Gi | = |Gi /Gi+1 ||Gi+1 | = pi |Gi+1 |
(1)
mit pi Primzahl, i ∈ {1, . . . , m − 2}, und |Gm−1 | = pm−1 Primzahl.
Wir haben mit wiederholter Anwendung von (1)
|G| = |G1 | = |G1 /G2 ||G2 | = p1 |G2 |,
|G2 | = |G2 /G3 ||G3 | = p2 |G3 |, . . .
und somit
|G| = |G1 : G2 | · · · |Gm−2 : Gm−1 ||Gm−1 | = p1 p2 . . . pm−2 pm−1 ,
die Ordnung der Gruppe G ist ein endliches Produkt von Primzahlen, daher
ist |G| < ∞, G ist endlich. Stefan K., Algebra I Blatt 7
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Aufgabe 3
zu zeigen: In 2Z ist 4Z ein maximales Ideal.
Beweis:
Aus der Vorlesung, Abschnitt Gruppentheorie, ist bereits bekannt, daß 4Z
eine Untergruppe von 2Z ist (z.B. aus der Normalreihe für (Z, +)).
Nun zeige ich, daß 4Z zusätzlich die Idealeigenschaft in 2Z besitzt:
Sei a ∈ 4Z, r ∈ 2Z. Dann existieren xa , xr ∈ Z mit a = 4xa , r = 2xr .
Weiterhin ist, unter der Benutzung der Kommutativität der Multiplikation
in Z:
ra = 2xr 4xa = 8xr xa = 4(2xr xa ) ∈ 4Z
(2)
und
ar = 4xa 2xr = 8xa xr = 4(2xa xr ) ∈ 4Z,
(3)
(3) folgt natürlich ohnehin aus (2) und der Kommutativität der Multiplikation in Z.
Damit ist 4Z ein Ideal in 2Z. Zu zeigen verbleibt die Maximalität:
Angenommen, es gäbe ein 4Z enthaltendes echtes Ideal I in 2Z, also
4Z ⊂ I ( 2Z,
dann muß insbesondere I eine echte Untergruppe von 2Z sein. Aus der Gruppentheorie wissen wir, daß die Untergruppen von Z die Form kZ, k ∈ N0 ,
haben, insbesondere haben die Untergruppen von 2Z die Form 2kZ, k ∈ N0 .
Die einzige echte Untergruppe von 2Z welche 4Z enthält, ist 4Z selbst. Also
ist I = 4Z, und es ist gezeigt, daß 4Z maximal ist in 2Z. Stefan K., Algebra I Blatt 7
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Aufgabe 4
gegeben: R sei ein assoziativer Ring mit 1.
gesucht: Alle 2-seitigen Ideale in M2×2 (R)
Lösung:
Meine Rechnung ergab: Eine Teilmenge I ⊂ M2×2 (R) ist genau dann ein
2-seitiges Ideal in M2×2 (R), wenn die Menge
IR = {r ∈ R | r ist Eintrag einer Matrix aus I}
(4)
ihrer Einträge ein Ideal in R ist.
Es ist also I = M2×2 (IR ) genau für Ideale IR in R.
Beweis:
”
⇒ “ : Sei I ein Ideal in M2×2 (R). Dann ist
Bezeichnen im
1
E11 =
0
0 0
∈ I, also ist 0 ∈ IR .
0 0
weiteren
0
0 1
0 0
0 0
, E12 =
, E21 =
, E22 =
,
0
0 0
1 0
0 1
es gilt Eij ∈ M2×2 (R) für i ∈ {1, 2}, da 0, 1 ∈ R nach Voraussetzung.
Seien r1 , r2 ∈ IR . Dann existieren nach (4) Matrizen
a1 a2
b1 b2
A=
∈ I, B =
∈I
a3 a4
b3 b4
mit aij = r1 und bkl = r2 für gewisse i, j, k, l ∈ {1, 2}.
Da I ein zweiseitiges Ideal in M2×2 (R) ist, gilt F := AEjl − Eik B ∈ I.
Bezeichne C = (cij ) die Matrix AEjl , dann ergibt sich bei der Matrixmultiplikation cil = aij = r1 . Sei D = (dij ) die Matrix Eik B,
dann ergibt sich bei der Matrixmultiplikation dil = bkl = r2 , also für
F = (fij ) = C − D wird fjl = r1 − r2 , es folgt r1 − r2 ∈ IR .
Bezeichne nun
Dr =
Stefan K., Algebra I Blatt 7
r 0
0 r
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die Diagnonalmatrix mit Einträgen r auf der Hauptdiagonalen, es gilt
Dr ∈ M2×2 (R) für r ∈ R.
Da I ein zweiseitiges Ideal in M2×2 (R) ist, muß Dr A ∈ I gelten, also gilt
raij = rr1 ∈ IR . Analog muß ADr ∈ I gelten, e folgt aij r = r1 r ∈ IR .
Somit ist IR ein Ideal in R.
”
⇐ “ : Sei IR ein Ideal in R, und bezeichne I := M2×2 (IR ). Dann gilt 0 ∈ IR ,
0 0
also auch
∈ I.
0 0
Sei
A :=
a1 a2
a3 a4
∈ I, B :=
b1 b2
b3 b4
∈ I.
Dann ist
A−B =
a1 a2
a3 a4
b b
− 1 2
b3 b4
=
a1 − b 1 a2 − b 2
,
a3 − b 3 a4 − b 4
da IR ein Ideal in R ist, liegen alle Elemente der Differenz-Matrix in
IR , und wir haben A − B ∈ I.
Sei außerdem
C=
r1 r2
r3 r4
∈ M2×2 (R).
beliebig. Dann ist
AC =
=
CA =
=
r1 r 2
r3 r 4
a1 r 1 + a2 r 3 a1 r 2 + a2 r 4
a3 r 1 + a4 r 3 a3 r 2 + a4 r 4
und
a1 a2
a3 a4
r1 r2
r3 r4
a1 a2
a3 a4
r 1 a1 + r 2 a3 r 1 a2 + r 2 a4
r3 a1 + r4 a3 r3 a2 + r4 a4
Da ai ∈ IR , rj ∈ R für i, j ∈ {1, 2} und IR zweiseitiges Ideal in R ist,
folgt AC, CA ∈ I. Also ist I ein Ideal in M2×2 (R).
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