Eigenschaften von Möbiustransformationen

GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN
VON MÖBIUSTRANSFORMATIONEN
FRANK KLINKER
Zusammenfassung. Wir listen hier einige Eigenschaften von Möbiustransformationen auf, die in Verbindung mit der Geometrie der hyperbolischen Ebene nützlich sein können.
1. Die Definition der Möbiustransformation
Es sei
GL2 C “
"
ˆ
A“
˙ˇ
*
a b ˇˇ
det A “ ad ´ bc ‰ 0 Ă M at2 C
c d ˇ
die Gruppe der invertierbaren komplexen 2 ˆ 2-Matrizen.
ˆ
˙
a b
heißt die Abbildung τA mit der Abbildungsvorschrift
Zu A “
c d
τA pzq :“
az ` b
cz ` d
eine Möbiustransformation.
2. Strukturelle Eigenschaften der Möbiustransformationen
(1) Der Definitions- und Wertebereich der Möbiustransformation τA ist
‚ D “ C und W “ C falls c “ 0,
u und W “ Czt ac u, falls c ‰ 0.
‚ D “ Czt ´d
c
(2) Für die Hintereinanderausführung zweier Möbiustransformationen gilt
τA ˝ τB “ τAB ,
zumindest dort, wo die Abbildungen definiert sind.
Date: 18. Februar 2014.
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1
MÖBIUSTRANSFORMATIONEN
2
(3) Die Möbiustransformationen bilden eine Gruppe M und die Abbildung
T : GL2 C Ñ M mit T pAq :“ τA ist ein Gruppenhomomorphismus.
(4) Es ist ker T “ tζ 1 | ζ P C˚ u. Deshalb ist genau dann τA “ τB , wenn
A “ ηB für eine Zahl η P C˚ .
r mit einfacher Gestalt angeben,
(5) Man kann zu A P GL2 C eine Matrix A
´1
sodass τAr “ τA .
(6) Für eine Möbiustransformation τA P M sei ∆pAq :“ pa`dq2 ´4 detpAq.
Dann gilt:
‚ Ist ∆pAq ‰ 0 und c ‰ 0, dann hat τA genau zwei Fixpunkte.
‚ Ist entweder ∆pAq “ 0 oder c “ 0, so hat τA genau einen Fixpunkt.
‚ In allen anderen Fällen ist entweder τA “ id oder es gibt keinen
Fixpunkt.
(7) Jedes τA P M kann man als Komposition spezieller Möbiustransformationen der Form
τp01q pzq “
10
1
,
z
τpa0q pzq “ az ,
01
τp1bq pzq “ z ` b
01
darstellen.
3. Abbildungseigenschaften von Möbiustransformationen
Notation: Als verallgemeinerte Kreise bezeichnet man in der komplexen
Ebene die Menge der Kreise und Geraden.
(8) Man kann τA P M als Abbildung von C Y t8u in sich interpretieren.
Dazu definiert man
$
&τA p ´d q “ 8 und τA p8q “ a falls c ‰ 0
c
c
%τ p8q “ 8
falls c “ 0
In diesem Sinne sind die Geraden genau die verallgemeinerten Kreise,
die den Punkt 8 enthalten.
(9) τA P M bildet verallgemeinerte Kreise im Definitionsbereich auf verallgemeinerte Kreise im Wertebereich ab. Was passiert mit verallgemeinerten Kreisen in C, die durch ´d
verlaufen?
c
MÖBIUSTRANSFORMATIONEN
3
(10) Schneiden sich zwei verallgemeinerte Kreise, so schneiden sich ihre Bilder unter einer Möbiustransformation mit dem gleichen Schnittwinkel.
(11) Das Doppelverhältnis vier unterschiedlicher komplexer Zahlen z0 , z1 ,
z2 , z3 ist definiert durch
z0 ´ z1 z2 ´ z3
DV pz0 , z1 , z2 , z3 q :“
¨
.
z0 ´ z3 z2 ´ z1
Das Doppelverhältnis lässt sich auch geeignet definieren, wenn zi “ 8,
oder, wenn zwei Zahlen übereinstimmen.
(12) Die Abbildung τ mit
τ pzq :“ DV pz, z1 , z2 , z3 q
ist eine Möbiustransformation mit τ pz1 q “ 0, τ pz2 q “ 1 und τ pz3 q “ 8.
(13) Ist τ P M mit τ pzi q “ wi für i “ 1, 2, 3, so ist
DV pz, z1 , z2 , z3 q “ DV pτ pzq, w1 , w2 , w3 q .
D. h. das Doppelverhältnis ist invariant unter Möbiustransformationen.
(14) Daraus kann man nun eine eine explizite Formel für τ P M aus drei
bekannten Werten herleiten. Sind also pz1 , w1 q, pz2 , w2 q und pz3 , w3 q
gegeben, dann gibt es genau eine Möbiustransformation, die τ pzi q “ wi
erfüllt.
4. Halbebene und Einheitskreisscheibe
(
(15) Sei H :“ z P C | Impzq ą 0 die obere Halbebene und E :“ B0 p1q die
offene Einheitskreisscheibe. Dann bildet σ P M mit
z´i
σpzq “
z`i
z`1
H bijektiv auf E ab und es gilt σ ´1 pzq “ ´i
.
z´1
(16) Eine schöne Übung ist die Bestimmung der Bilder unter σ von
(
Ē , B 1 p0q ,
z P C | Impzq ą 0, Repzq ą 0 ,
2
(
(
z P C | Impzq “ 0 ,
z P C | Repzq “ 0 .
uq Ă R, dann gibt es eine komplexe
(17) Sei τA P M mit c ‰ 0. Ist τA pRzt ´d
c
˚
Zahl ζ P C , sodass ζA eine reelle Matrix ist.
MÖBIUSTRANSFORMATIONEN
ˆ
(18) Ist A “
4
˙
a b
reell, so gilt für alle z P Czt ´d
u:
c
c d
ImpτA pzqq “
detpAq
Impzq .
|cz ` d|2
Daraus folgt:
τA pHq “ H ðñ Dζ P C˚ : ζA ist reell und detpζAq ą 0 .
z´i
folgert
(19) Mit Hilfe der speziellen Möbiustransformation σpzq “
z`i
man nun:
ˆ
˙
a b
˚
und detpζAq ą 0 .
τA pEq “ E ðñ Dζ P C : ζA “
b̄ ā
(20) Man kann die Möbiustransformationen τ P M mit τ pEq “ E auch wie
folgt darstellen:
z ´ z0
τ pzq “ eit ¨
, t P R, |z0 | ă 1 .
z¯0 z ´ 1