Blatt 2

Freitag, 28. Oktober 2016
Algebra (für LA Gym.)
— Blatt 2 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Sei G eine Gruppe und U eine Teilmenge. Wir betrachten die folgenden drei Aussagen.
(i) Die Teilmenge U ist eine Untergruppe von G.
(ii) Es gilt U 6= ∅, und für alle a, b ∈ U gilt ab−1 ∈ U .
(iii) Es gilt U 6= ∅, und für alle a, b ∈ U gilt ab ∈ U .
Beweisen Sie, dass die Aussagen (i),(ii) äquivalent sind, und dass für endliches G sogar alle drei Aussagen
äquivalent sind. Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die Äquivalenz (ii) ⇔ (iii) für unendliches
G im Allgemeinen nicht erfüllt ist.
Aufgabe 2
Die Kleinsche Vierergruppe ist definiert durch V4 = hσ, τ i ⊆ S4 mit σ = (1 2)(3 4) und τ = (1 3)(2 4).
(a) Zeigen Sie, dass V4 = {id, σ, τ, στ } gilt. (Dass es sich bei der Menge rechts um eine Untergruppe
von S4 handelt, kann zum Beispiel durch Angabe einer Verknüpfungstabelle nachgewiesen werden.
Erläutern Sie, wie die Untergruppen-Eigenschaft aus der Tabelle abgelesen werden kann.)
(b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von V4 . Begründen Sie dabei, dass jede von Ihnen angegebene
Teilmenge tatsächlich eine Untergruppe ist, und dass es außerden den von Ihnen angegebenen keine
weiteren Untergruppen gibt.
Aufgabe 3
Wir betrachten die folgende Teilmenge der rationalen Zahlen.
na o
a ∈ Z , r ∈ N0
A =
2r
(a) Zeigen Sie, dass A eine Untergruppe von (Q, +) ist.
(b) Weisen Sie nach, dass h 43 , 58 i eine zyklische Untergruppe von A ist, indem Sie die Gleichung
h 43 , 58 i = h 18 i verifizieren.
Aufgabe 4
(Zahlentheorie)
Seien R und S Ringe und R × S das äußere Produkt dieser Ringe.
(a) Zeigen Sie, dass ein Element (a, b) ∈ R × S genau dann eine Einheit in R × S ist, wenn a ∈ R×
und b ∈ R× gilt.
(b) Beweisen Sie: Das Element (a, b) ist genau dann Nullteiler in R × S, wenn a ein Nullteiler in R
oder b ein Nullteiler in S ist.
Dieses Blatt wird vom 24. bis zum 28. Oktober im Tutorium bearbeitet.
Algebra (für LA Gym.)
— Blatt 2 —
(Globalübungsblatt)
Aufgabe 1
(4+3+3 Punkte)
Sei G eine Gruppe, und seien U1 , U2 , V Untergruppen von G.
(a) Zeigen Sie, dass aus V ⊆ U1 ∪ U2 jeweils V ⊆ U1 oder V ⊆ U2 folgt.
(b) Weisen Sie nach, dass U1 ∪ U2 genau dann eine Untergruppe ist, wenn U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 gilt.
(c) Bestimmen Sie in der Kleinschen Vierergruppe V4 vom Tutoriumsblatt (Aufgabe 2) vier Untergruppen U1 , U2 , U3 , V mit der Eigenschaft, dass V ⊆ U1 ∪ U2 ∪ U3 , aber V 6⊆ Ui für i = 1, 2, 3
gilt.
Aufgabe 2
(3+3+4 Punkte)
(a) Geben Sie alle Elemente der alternierenden Gruppe A4 an.
(b) Bestimmen Sie vier verschiedene Untergruppen von A4 (und begründen Sie, dass es sich tatsächlich
um verschiedene Untergruppen handelt).
(c) Beweisen Sie die Gleichung A4 = h(1 2 3), (1 2)(3 4)i.
Aufgabe 3
(4+4+2 Punkte)
(a) Sei A die Untergruppe von (Q, +) aus Tutoriumsaufgabe 3. Zeigen Sie, dass A nicht zyklisch ist.
(b) Seien G und H endlich erzeugte Gruppen. Zeigen Sie, dass dann auch G × H endlich erzeugt ist.
Anleitung:
Sind S, T endliche Erzeugendensysteme von G bzw. H, zeigen Sie, dass die Menge
S × {eH } ∪ {eG } × T ein endliches Erzeugendensystem von G × H ist.
(c) Gilt Aussage (b) immer noch, wenn man endlich erzeugt“ durch zyklisch“ ersetzt?
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Abgabe: Dienstag, 8. November, 12:15 Uhr im Übungskasten
Pro Abgabe sind zwei Personen zugelassen. Bitte geben Sie vorn auf dem Blatt immer die Nummer Ihrer
Übungsgruppe an!