technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . G ERD F ISCHER , D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2009/10)
— Aufgabenblatt 8 (22. Dezember 2009) —
— Hausaufgaben —
Aufgabe 38. Rationalität periodischer Dezimalbrüche.
Wir verwenden die geometrische Reihe:
Für jedes x ∈ R mit |x| < 1 gilt
∞
X
xn =
n=0
1
.
1−x
1.) Beweisen Sie, dass für jedes k ∈ N mit k ≥ 1 gilt:
∞
X
(
n=1
1 n
1
1
) = k
=
10k
10 − 1
99
.
| {z. . 9}
k−mal
2.) Beweisen Sie, dass jeder abbrechende Dezimalbruch rational ist, d.h.:
zm . . . z0 , z−1 . . . z−n 0 ∈ Q
für
zi ∈ {0, 1, . . . , 9}
3.) Beweisen Sie, dass 0, 9 = 0, 99999 · · · = 1
4.) Berechnen Sie 0, 12 und 3, 412 als rationale Zahlen.
5.) Beweisen Sie, dass für alle m, n, k ∈ N gilt:
a.) 0, z−1 . . . z−k ∈ Q
b.) zm . . . z0 , z−1 . . . z−n z−(n+1) . . . z−(n+k) ∈ Q
Aufgabe 39. Fehlerminimierung bei der Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen.
Wie viele Dezimalstellen sind zur Darstellung einer reellen Zahl x ∈ R mindestens nötig, wenn der Fehler dabei höch1
stens 300000
betragen darf?
Aufgabe 40. Abzählbarkeit.
Zeigen Sie:
1.) Sind zwei Mengen A und B abzählbar, so ist auch ihre Vereinigungsmenge A ∪ B abzählbar.
2.) Die Menge R \ Q ist überabzählbar (d.h. nicht abzählbar).
Aufgabe 41. Abzählbarkeit von N × N.
Zeigen Sie: Die Menge N × N ist abzählbar.
Aufgabe 42. Null-Eins-Folgen.
Eine Folge heißt Null-Eins-Folge, wenn ihre Folgenglieder nur aus Nullen und Einsen bestehen; eine Null-Eins-Folge
ist somit eine Abbildung
N → {0, 1}.
Ist die Menge aller Null-Eins-Folgen {N → {0, 1}} abzählbar?
Aufgabe 43. Gruppenaxiome.
Sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G. Das zu g ∈ G inverse Element werde mit g −1 bezeichnet. Welche
der folgenden Aussagen sind richtig ?
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ∗ g = e
∀g ∈ G ∀f ∈ G : g ∗ f ∗ g
−1
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ∗ g = h
=f
∀g, f, h, k ∈ G : (g ∗ f ) ∗ (h ∗ k) = g ∗ ((f ∗ h) ∗ k)
∀g ∈ G ∃h ∈ G : h ∗ g = e
Aufgabe 44. Untergruppen?
Eine Teilmenge H ⊆ G heißt genau dann Untergruppe von (G, ∗), wenn die drei nachfolgenden Bedingungen gelten:
a.) H 6= ∅.
b.) Mit a, b ∈ H ist auch a ∗ b ∈ H.
c.) Mit a ∈ H ist auch a−1 ∈ H.
Gegeben seien nun die folgenden Gruppen und Teilmengen. Entscheiden Sie, welche der Teilmengen Untergruppen sind:
1.) Gegeben sei die Gruppe (R, +).
√
{a + b√2 | a, b ∈ Z}
{a + b√5 | a, b ∈ Q}
{a + b 2 | a ∈ Q, b ∈ R}
{0, 2, 4, 6, 8, 10}
R\Q
{x ∈ R | 5x + 1 = 0}
{x ∈ R | 5x = 0}
{2x | x ∈ Z}
2.) Gegeben sei die Gruppe (Z/12Z, +).
¯
{0̄, 2̄, 4̄, 6̄, 8̄, 10}
{0̄, 4̄, 8̄}
{}
{0̄, 3̄, 5̄, 8̄}
{0̄}
{0̄, 3̄, 6̄, 9̄}
{0̄, 6̄}
{6̄}
Aufgabe 45. Ein Untergruppenkriterium.
Beweisen Sie folgendes Untergruppenkriterium: Es seien (G, ∗) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Das Paar
(H, ∗) ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn die beiden nachfolgenden Bedingungen gelten:
(i) H ist nicht die leere Menge.
(ii) Für alle x, y ∈ H ist x ◦ y −1 ∈ H, wobei y −1 das (in G gebildete) Inverse zu y ist.
Aufgabe 46. Untergruppen von Z.
1.) Zeigen Sie: Für alle m ∈ N ist (mZ, +) mit mZ := {m · k|k ∈ Z} eine Untergruppe von (Z, +).
2.) Zeigen Sie: Für alle n, m ∈ N gilt: (nZ, +) ist Untergruppe von (mZ, +) ⇐⇒ m|n („m teilt n“)
3.) Zeigen Sie: Alle Untergruppen von (Z, +) sind von der Form (mZ, +) für ein m ∈ N.
Aufgabe 47. Wohldefiniertheit der Addition in Q.
ml + nk
m k
+ :=
, mit m, k ∈ Z und n, l ∈ N \ {0} wohldefiniert ist,
Beweisen Sie, dass die Addition in Q durch
n
l
nl
m
m0
k0
m0
k
m k
k0
d.h. dass für beliebige
= 0 ∈ Q und = 0 ∈ Q immer gilt:
+ = 0 + 0.
n
n
l
l
n
l
n
l
Aufgabe 48. Multiplikation in Z/mZ.
Geben Sie die Verknüpfungstafeln von (Z/mZ, ·)∗ := (Z/mZ, ·)\{0} für m = 5, m = 9, m = 11, m = 18 an.
Bestimmen Sie jeweils die Menge der Nullteiler und die Menge der Elemente, die ein inverses Element besitzen.
Ein Element g 6= 0 ∈ R in einem Ring (R, +, ·) heißt Nullteiler, genau dann wenn es ein h 6= 0 ∈ R gibt mit g · h = 0.
Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 12.01.2010, zu Beginn der Vorlesung - Rückmeldung der Hausaufgabenteams bis Montag, 11.01.2010.
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