¨Ubungen zur Vorlesung WS 2006/07 Gruppentheoretische

Übungen zur Vorlesung
WS 2006/07
Gruppentheoretische Methoden der Physik I
Blatt 6
Abgabedatum: 17./19. 1. 2007
Aufgabe 24
(Schriftlich) Zur Quaternionengruppe
3 Punkte
1 0
0 i
(a) Bilden die Paulimatrizen σ1 = 01 10 , σ2 = −i
0 , σ3 = 0 −1 zusammen mit der Einheitsmatrix eine Gruppe? Welche Elemente enthält die von diesen Matrizen erzeugte Gruppe?
(b) Welche Beziehung gilt zwischen den Matrizen iσi ? Von diesen Matrizen wird die sogenannte
Quaternionengruppe Q erzeugt. Stellen Sie die Gruppentafel von Q auf.
(c) Die Quaternionengruppe ist eine endliche Untergruppe von SU (2) und damit Doppelgruppe
zu einer Punktgruppe. Wie erhält man ihre Gruppentafel leicht aus der von Q? Um welche
Gruppe handelt es sich?
Aufgabe 25
(Votier) Zur Gitterbasis
2 Punkte
Jeder Translationsvektor a einer dreidimensionalen Gittergruppe G kann geschrieben werden als
a = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3
wobei die Vektoren b1 , b2 , b3 linear unabhängig sind und die ni ganze Zahlen. Was passiert,
wenn man einen vierten Basisvektor hinzunimmt? Betrachten Sie dazu zwei Fälle:
(a) b4 sei eine Linearkombination von b1 . . . b3 mit rationalen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass
dann die ganzzahligen Linearkombinationen von b1 . . . b4 ein dreidimensionales Gitter bilden, und geben Sie eine Basis dafür an.
(b) b4 ist rational unabhängig von b1 . . . b3 . Zeigen Sie, dass es dann ganzzahlige Linearkombinationen von b1 . . . b4 mit beliebig kleinem Abstand gibt.
Aufgabe 26
(Votier) Zur kristallographischen Beschränkung
2 Punkte
Beweisen Sie folgenden Satz:
Eine kristallographische Punktgruppe in zwei oder drei Dimensionen kann nur Drehachsen cn
der Zähligkeiten n = 1, 2, 3, 4 und 6 enthalten. Holoedrien (die vollen Symmetriegruppen von
Gittern) enthalten stets die Inversion i, und, sofern sie eine zyklische Untergruppe Cn einschließen,
gleichzeitig auch Cnv .
Aufgabe 27
(Schriftlich) Kubische Gruppe
3 Punkte
Berechnen Sie für die Gruppe Oh die Normalteiler, die Kommutator-Untergruppe und das Zentrum. Unter der Kommutator-Untergruppe einer Gruppe G versteht man diejenige Gruppe, die aus
allen Produkten hgh−1 g −1 erzeugt wird, wobei g und h alle Elemente der Gruppe G durchlaufen.
Achtung: Die Menge der Produkte hgh−1 g −1 bildet im Allgemeinen noch keine Gruppe!
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Aufgabe 28
(Votier) Ebenengruppen
4 Punkte
Sei G die volle Symmetriegruppe (Holoedrie) eines hexagonalen Gitters in der Ebene. G ist eine
Ebenengruppe, das zweidimensionale Analog einer Raumgruppe.
(a) Bestimmen Sie die Punktgruppe P und die Translationsuntergruppe T von G.
(b) Zeigen Sie, dass ein Element von G genau dann endliche Ordnung hat, wenn es einen Fixpunkt
besitzt. Überlegen Sie sich, dass eine Untergruppe von G genau dann endlich ist, wenn ihre
Elemente einen gemeinsamen Fixpunkt haben.
(c) Bestimmen Sie alle endlichen Untergruppen von G, und teilen Sie diese in Klassen konjugierter Untergruppen ein. Welche Untergruppen sind durch eine Gittertranslation zueinander
konjugiert? Solche Untergruppen bilden eine T -Konjugationsklasse. Welche sind durch ein
beliebiges Gruppenelement zueinander konjugiert?
(d) Geben Sie für einen Repräsentanten H jeder T -Konjugationsklasse von endlichen Untergruppen die Menge aller Punkte an, die von der Untergruppe H invariant gelassen werden.
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