Klausur zu Stochastik - Mathematisches Institut

Wintersemester 2013/14
Modulprüfung zu Stochastik
Veranstaltungsnummer 16190
Dozent: Prof. Dr. Jan Nagel
Mathematisches Institut der Universität München
München, den 1.3.2014
Klausur zu Stochastik
Aufgabe 1: (10 Punkte)
In einer Urne befinden sich 2 rote und 3 blaue Kugeln. Aus der Urne wird n-mal
mit Zurücklegen gezogen und bei jedem Zug die Farbe der Kugel notiert. Dabei
sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl.
(a) Stellen Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Zufallsexperiment auf
und geben Sie an, wie ein Ergebnis ω ∈ Ω zu interpretieren ist.
(b) Definieren Sie als Abbildung auf Ihrem Ergebnisraum aus (a) eine Zufallsvariable X, welche zählt, wieviele verschiedene Farben gezogen wurden und
berechnen Sie den Erwartungswert von X.
(c) Sind die Ereignisse A = {X = 1} und B = Im ersten Zug wird eine rote
”
Kugel gezogen“ unabhängig?
Aufgabe 2: (10 Punkte)
Für a > 0 bezeichne f : R → [0, ∞) die Abbildung mit
f (x) = ax−a−1 1(1,∞) (x).
(a) Zeigen Sie, dass f eine Dichte ist.
(b) Im Folgenden sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f . Bestimmen Sie die
Parametermenge V ⊂ (0, ∞), sodass die Varianz von X genau dann existiert,
wenn a ∈ V ist.
(c) Bestimmen Sie die Verteilung von
Y =
1
X
a
.
Aufgabe 3: (10 Punkte)
Es sei (Xn )n≥0 eine Markov-Kette mit Zustandsraum {1, 2, 3}, wobei X0 = 1 sei
und die Übergangsmatrix Π durch den abgebildeten Übergangsgraphen definiert
sei:
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
1
1
4
3
(a) Berechnen Sie P (X2 = 2).
(b) Bestimmen Sie P (X1 = 3|X2 = 2).
(c) Begründen Sie, warum der Grenzwert lim P (Xn = 1) existiert und geben
n→∞
Sie ihn an.
Aufgabe 4: (10 Punkte)
Es seien X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen mit identischer Verteilung. Die
Zufallsvariablen seien nichtnegativ und es existiere E[X1k ] < ∞ für alle k ∈ N.
(a) Zeigen Sie, dass √1n Xn fast sicher gegen 0 konvergiert.
Hinweis: Verwenden Sie das Lemma von Borel-Cantelli.
(b) Bestimmen Sie
lim P
n→∞
n
X
k=1
!
(Xk − E[Xk ]) ≤ Xn .
Aufgabe 5: (10 Punkte)
In einer Fabrik werden von n Maschinen Bauteile produziert, wobei jede Maschine
bei der Produktion eines Bauteils mit unbekannter Wahrscheinlichkeit θ ∈ (0, 1)
durch einen Defekt unbrauchbar wird (unabhängig von den anderen Maschinen
und von bisher produzierten Teilen). Für jede Maschine wird notiert, bei dem
wievielten Bauteil ein Defekt aufgetreten ist.
(a) Stellen Sie ein statistisches Modell für dieses Experiment auf.
(b) Leiten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für θ her.
Aufgabe 6: (10 Punkte)
Es sei (X1 , . . . , Xn ) eine Stichprobe aus unabhängigen, Exp(1/θ)-verteilten Daten
mit θ > 0. Ferner sei θ0 > 0.
(a) Bestimmen Sie den Likelihood-Quotienten zu dem Testproblem H0 : θ = θ0
gegen H1 : θ = θ1 für θ0 < θ1 .
(b) Bestimmen Sie einen besten Test zum Niveau α ∈ (0, 1) zu dem Testproblem
H0 : θ ≤ θ0 gegen H1 : θ > θ0 . Formulieren Sie die Testvorschrift mit Hilfe
eines Quantils einer geeigneten Verteilung.