Aufgabenblatt 4

Übungsblatt 4 zu Stochastischen Prozessen
F. Merkl/R. Graf
Abgabe bis 17. November 2011, 15:30 Uhr
Aufgabe 13
Es seien X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen mit
1
für k ≥ 1,
2k2
1
1
P[Xk = 1] = P[Xk = −1] =
1− 2
für k ≥ 2.
2
k
P
Weiter sei Sn := nk=1 Xk , n ∈ N. Zeigen Sie:
P[Xk = k] = P[Xk = −k] =
Var[Sn ]
−−−→ 2;
n→∞
n
Sn
w
−−−→ N (0, 1).
(ii) L √
n n→∞
(i)
Aufgabe 14
Beweisen Sie die folgende Version des lokalen zentralen Grenzwertsatzes: Es seien (Xk )k∈N
unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen
in L2 mit einer Gitterverteilung der GitterPn
weite α > 0. Für n ∈ N sei Sn := k=1 Xk und Zn eine normalverteilte Zufallsvariable mit
E[Zn ] = E[Sn ], Var[Zn ] = Var[Sn ]. Dann gilt
1
sup P[Sn ∈ [x, x + α)] − P[Zn ∈ [x, x + α)] = o √
für n → ∞.
n
x∈R
Aufgabe 15
Definition: Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : (Ω, A) → (R, B(R)) eine Zufallsvariable und F ⊂ A eine Unter-σ-Algebra. Eine Abbildung κ : Ω × B(R) → [0, 1] heißt
reguläre bedingte Verteilung von X gegeben F, wenn Folgendes gilt:
(i) Für alle A ∈ B(R) ist κ( · , A) eine Version von P[X ∈ A|F].
(ii) Für P-f.a. ω ∈ Ω ist κ(ω, · ) ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Seien X und F wie eben. Beweisen Sie, dass dann eine reguläre bedingte Verteilung von X
gegeben F existiert.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst P[X ≤ q|F] für q ∈ Q.
Aufgabe 16
Definition: Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien F1 , F2 , G ⊂ A Unter-σAlgebren. Dann heißen F1 und F2 unabhängig gegeben G, wenn für alle F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2
P[F1 ∩ F2 |G] = P[F1 |G] · P[F2 |G]
P-f.s.
gilt.
Es sei (Xt )t∈N0 ein stochastischer Prozess mit Werten in einem messbaren Raum (E, E). Wir
definieren für t ∈ N0
F≤t := σ(Xs : s ≤ t)
F≥t := σ(Xs : s ≥ t)
( die σ-Algebra der Vergangenheit bis t“),
”
( die σ-Algebra der Zukunft ab t“).
”
Zeigen Sie: (Xt )t∈N0 ist genau dann ein Markovprozess, wenn für alle t ∈ N0 die σ-Algebren
F≤t und F≥t unabhängig sind gegeben σ(Xt ).
Hinweis: (Xt )t∈N0 heißt Markovprozess, wenn für alle t ∈ N0 und alle A ∈ E gilt:
P[Xt+1 ∈ A|F≤t ] = P[Xt+1 ∈ A|Xt ]
P-f.s.