Blatt 7 - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka
Alexander Raß, Moritz Mühlenthaler
Erlangen, 6. Juni 2016
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2016
Blatt 7
AUFGABE 17:
Beweisen Sie das Gesetz der großen Zahlen:
Gegeben sei eine Zufallsvariable X, für die E[X] und Var[X] existieren. Seien ε, δ > 0 beliebig, aber
Var[X]
:
fest. Dann gilt für alle n ≥
ε · δ2
Sind X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie X und setzt man
Z :=
1 n
· ∑ Xi ,
n i=1
so gilt:
Pr[|Z − E[X]| ≥ δ] ≤ ε .
Hinweis: Berechnen Sie E[Z] und Var[Z] und wenden Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung an.
Zur Erinnerung die Tschebyscheffsche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable. Für jedes ε > 0
gilt:
Var[X]
Pr[|X − E[X]| ≥ ε] ≤
ε2
AUFGABE 18:
Beweisen Sie die folgende Aussage, die stärker ist als das Gesetz der großen Zahlen:
Seien X1 , . . . , Xm unabhängige Indikator-Variablen mit gleicher Verteilung. Sei µ = E[Xi ].
Zeigen Sie: Für m ≥
3 ln(2/δ)
ist
ε2 µ
"
#
1 m
Pr ∑ Xi − µ ≥ ε · µ ≤ δ .
m i=1
Hinweis: Die Tschebyscheffsche Ungleichung ist zu schwach. Auf welches Werkzeug sollten Sie
dann also zurückgreifen?