Stochastische Prozesse Übungsblatt 5

Mathematisches Institut
der Universität München
Stochastische Prozesse
Übungsblatt 5
Prof. Dr. Franz Merkl
WS 2014/15
Aufgabe 17
Geben Sie eine Zufallsvariable X mit folgenden Eigenschaften an:
(a) Für alle a, b ∈ R ist P [X ∈ aZ + b] < 1.
(b) Für alle a ∈ Q ist P [X = 2πa] > 0.
(c) Es gilt lim supt→±∞ |ϕX (t)| = 1.
Aufgabe 18
(a) Sei X eine reellwertige Zufallsvariable und a ∈ R. Zeigen Sie:
P [X ≥ a] ≤ inf e−sa E[esX ].
s≥0
(1)
(b) Ein fairer Würfel mit den Augenzahlen 1, . . . , 6 werde fortlaufend unabhängig geworfen. Es bezeichne Sn die Augensumme nach n Würfen. Schätzen Sie die folgenden
Wahrscheinlichkeiten jeweils sowohl mit dem Satz von Berry-Esseen als auch mit Gleichung (1) nach oben ab:
(i) P [S1000 ≥ 3550];
(ii) P [S1000 ≥ 4000].
Verwenden Sie dabei zur expliziten numerischen Bestimmung der oberen Schranken
einen Taschenrechner oder Computer. Welche Methode liefert jeweils bessere Abschätzungen?
Aufgabe 19
Beweisen Sie die folgende Version des Lokalen Zentralen Grenzwertsatzes: Es seien (Xk )k∈N
unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen
in L2 mit einer Gitterverteilung der GitterPn
weite α > 0. Für n ∈ N sei Sn := k=1 Xk und Zn eine normalverteilte Zufallsvariable mit
E[Zn ] = E[Sn ], Var(Zn ) = Var(Sn ). Dann gilt
1
sup P [Sn ∈ [x, x + α)] − P [Zn ∈ [x, x + α)] = o √
für n → ∞.
n
x∈R
Aufgabe 20
Definition: Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien F1 , F2 , G ⊂ A Unter-σAlgebren. Dann heißen F1 und F2 unabhängig gegeben G, wenn für alle F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2
P [F1 ∩ F2 |G] = P [F1 |G] · P [F2 |G]
gilt.
P -f.s.
Es sei (Xt )t∈N0 ein stochastischer Prozess mit Werten in einem messbaren Raum (E, E). Wir
definieren für t ∈ N0
F≤t := σ(Xs : s ≤ t)
(„die σ-Algebra der Vergangenheit bis t“),
F≥t := σ(Xs : s ≥ t)
(„die σ-Algebra der Zukunft ab t“).
Zeigen Sie: (Xt )t∈N0 ist genau dann ein Markovprozess, wenn für alle t ∈ N0 die σ-Algebren
F≤t und F≥t unabhängig sind gegeben σ(Xt ).
Lösungen zu diesem Blatt können nicht korrigiert werden und müssen deshalb nicht im
Übungskasten abgegeben werden.