Blatt 3

Prof. Dr. Matthias Birkner
Peter Nelson
3. Übung zur Vorlesung
„Einführung in die Stochastik“
im Wintersemester 2016/2017
Aufgabe 1: (2+2 Punkte)
Es seien zwei reellwertige Zufallsvariablen X und Y gegeben mit X ≤ Y sowie eine reelle Zahl
t ∈ R. Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr ist:
(a) P (X ≥ t) ≤ P (Y ≥ t).
(b) P (X ≥ t) ≥ P (Y ≥ t).
(c) Sowohl (a) als auch (b) gelten nicht allgemein.
Wie verändert sich Ihre Antwort, wenn t durch eine reellwertige Zufallsvariable T (die auf
demselben Wahrscheinlichkeitsraum wie X und Y definiert ist) ersetzt wird?
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Das Intervall [0, 2] werde in zwei Teile zerlegt, indem im Teilintervall [0, 1] zufällig gemäß der
U
Gleichverteilung ein Punkt U markiert wird. Es bezeichne X = 2−U
das zufällige Verhältnis
der kürzeren zur längeren Seite. Berechnen Sie die Dichte der Verteilung von X.
Aufgabe 3: (1+1+2 Punkte)
(a) Es seien X eine reellwertige Zufallsvariable, die eine Dichte besitzt, und x ∈ R. Berechnen
Sie P (X = x).
(b) Es sei Y eine Zufallsvariable mit Werten in R2 , welche ebenfalls eine Dichte besitzt.
Ferner seien a, b ∈ R und Aa,b = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b} die Gerade mit Steigung a
und y-Achsenabschnitt b. Berechnen Sie P (Y ∈ Aa,b ).
(c) Es seien (U, V ) gleichverteilt auf [0, 1] × [0, 1] und W gleichverteilt auf [0, 1]. Entscheiden
Sie, ob (U, V ) und (W, 1 − W ) dieselbe gemeinsame Verteilung bzw. dieselben Randverteilungen besitzen, und geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeitsdichte an, wenn diese
existiert. [Hinweis: Verwenden Sie Aufgabenteil (b) mit einer geeigneten Wahl von Y , a
und b.]
Aufgabe 4: (2+2 Punkte)
Sei X eine Zufallsvariable mit X ∼ Binn,p , d.h. X ist binomialverteilt mit Parametern n ∈ N
und p ∈ (0, 1). Mit q bezeichnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit zu p, d.h. q = 1 − p.
(a) Sei die Zufallsvariable Y definiert durch Y := X mod 2. Bestimmen Sie die Verteilung von Y. [Hinweis: Berechnen Sie beispielsweise (q − p)n und (q + p)n mithilfe des
binomischen Lehrsatzes.]
(b) Geben Sie eine verwandte Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von X ein
Vielfaches von 3 ist, an. [Hinweis: Es sind +1 und −1 die Lösungen von x2 = 1. Die
Lösungen von x3 = 1 lauten 1, e2πi/3 und e4πi/3 und addieren sich zu 0.]
Abgabe: Freitag, den 18.11.2016 bis 11:59.