¨Ubungsblatt 2

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Volksw. Sarah Meyer
Wintrsemester 2014/2015
Übungsblatt 2
1. Es sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = 3 und E(X 2 ) = 13. Verwenden Sie die
Chebyshev-Ungleichung, um eine Mindestwahrscheinlichkeit für P (−2 < X < 8)
zu bestimmen.
2. Zeigen Sie mit Hilfe der Jensen-Ungleichung, dass die Varianz einer beliebigen
Zufallsvariablen niemals negativ sein kann.
3. Berechnen Sie die ersten 3 Momente der Verteilung, zu der die momentenerzeu2 2
gende Funktion mX (t) = exp(µt + σ 2t ) gehört. Zeigen Sie weiter, dass diese mit
den Momenten der Verteilung X ∼ N (µ, σ 2 ) übereinstimmen.
4. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion zur bivariaten Dichtefunktion
fX,Y (x, y) =
š
x + y , für x, y ∈ [0, 1] × [0, 1]
.
0
, sonst
5. Berechnen Sie die Randdichten für die Dichtefunktion aus Aufgabe 4.
6. Betrachten Sie den Wurf eines Tetraeders mit den Zahlen 1 bis 4. Die Zufallsvariable X bezeichne den Ausgang des einmaligen Tetraederwurfes. Bestimmen Sie
den Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 von X. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von P (|X − µ| ≥ k · σ) für k = 1 (k = 1.25, k = 1.5) und vergleichen Sie
diese Werte mit den entsprechenden Abschätzungen, die sich aus der ChebyshevUngleichung ergeben.
7. Die beliebige Zufallsvariable X besitze die Varianz σ 2 = 2. Wie groß muss die
Konstante a gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X Werte
annimmt, die sich um weniger als a vom Erwartungswert unterscheiden, mindestens 90% beträgt.
1
8. Die diskrete Zufallsvariable X habe die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
xi
P (X = xi )
0
1
2
3
4
0,06 0,21 0,34 0,28 0,11
(a) Berechnen Sie E(X) = µ und Var(X) = σ 2 .
(b) Berechnen Sie P (|X − µ| ≥ 2 · σ) und vergleichen Sie diesen Wert mit der
entsprechenden Abschätzung aus der Ungleichung von Chebyshev.
2