Konfidenzintervall für µX einer NV bei be- kannter

Konfidenzintervall für µX einer NV bei bekannter Varianz
Voraussetzung
Falls X normalverteilt und die Varianz σ2X bekannt ist, lässt sich auf
Basis eines gegebenen Stichprobenmittelwerts x̄ ein KI für den Parameter µX einfach berechnen. Dieser Fall wird unten betrachtet. Um auch bei
unbekannter Varianz ein KI ermitteln zu können, sind weitere Kenntnisse notwendig, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden.
Berechnen des KI
Aus dem vorigen Abschnitt kennen wir die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer normalverteilten Variablen:
σX
X̄ ∼ N(µX , √ )
n
Um ein KI berechnen zu können, muss X̄ standardisiert werden:
Z=
X̄ − µX̄
X̄ − µX
= σX
√
σX̄
n
Für die standardnormalverteilte Variable Z gilt mit Irrtumswahrscheinlichkeit α:
|Z| ≤ z1− α2
Also gilt (mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − α):
X̄ − µ X
σX ≤ z1− α2
√n σX
|X̄ − µX | ≤ z1− α2 · √
n
Die Grenzen des symmetrischen Konfidenzintervalls sind also:
σX
µ1,2 = x̄ ± z1− α2 · √
n
1