Mathematik 3 für Informatik

Gunter Ochs
Sommersemester 2014
Mathematik 3 für Informatik
Übungsblatt 8
0. Bearbeiten Sie Aufgabe 5 von Blatt 7 (falls noch nicht geschehen).
X
1. Die Zufallsvariable
gebe die Häugkeit des Ereignisses Zahl bei 4 Münzwürfen an.
(a) Bestimmen Sie die Verteilung von
pi = P (X = i)
für
X,
d. h. die Wahrscheinlichkeiten
i = 0, 1, ..., 4.
(b) Stellen Sie die Verteilung von
X
in einem Stabdiagramm dar.
(c) Berechnen Sie die Erwartungswerte von
X , 3X − 4, X 2
(d) Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung von
und
(X − 2)3 .
X.
18
37 den doppelten
19
Einsatz als Auszahlung, mit Wahrscheinlichkeit
37 verfällt der Einsatz. Beim Setzten auf eine Zahl bekommt
1
das 36fache des Einsatzes zurück, ansonsten verfällt der Einsatz.
man mit Wahrscheinlichkeit
37
2. Wenn man beim Roulette auf Rot oder Schwarz setzt, erhält man mit Wahrscheinlichkeit
(a) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns (d. h. Auszahlung minus
Einsatz), wenn Sie 111 Euro auf Rot setzen.
(b) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie in 111 aufeinander
folgenden Spielen jeweils einen Euro auf Rot setzen.
(c) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn Sie 111 Euro auf die
Zahl 11 setzen.
3. Seien
f (x) =
(a) Für welche
c, d
c
x2 ,
falls
0,
falls
x≥1
x<1
sowie
handelt es sich bei
(b) Die Zufallsvariable
X
f (x)
g(x) =
bzw.
f (x)
habe die Dichte
g(x)
d
x4 ,
falls
0,
falls
x≥1
x<1
mit Konstanten
c, d ∈ R.
um die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?
aus (a),
Y
habe die Diche
g(x).
Berechnen Sie die Wahrschein-
lichkeiten
(i)
P (2 ≤ X ≤ 4),
(ii)
P (X ≤ 3),
(iii)
(c) Prüfen Sie, ob die Erwartungswerte
P (Y ≥ 2)
EX , EY , E(X 2 )
und
E(Y 2 )
existieren und berechnen Sie diese gege-
benenfalls.
(d) Berechnen Sie, falls existent, die Varianzen
V (X)
und
V (Y ).
4. Aus einer Urne, die 4 grüne und 6 orange Kugeln enthält, werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Die Zufallsvariable X sei 1, wenn die erste gezogene Kugel grün ist und 0 sonst. Y sei 1, wenn die zweite Kugel
grün ist und 0 sonst.
(a) Geben Sie die Verteilungen von
X
und
Y
an, d. h. die Wahrscheinlichkeiten
P (X = i)
und
P (Y = j)
für
i, j ∈ {0, 1}.
(b) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von
(c) Geben
Sie
P (X = i
die
und
gemeinsame
Y = j)
Verteilung
von
für alle Kombinationen von
X und Y
i, j ∈ {0, 1}
an,
X
und von
d.
h.
Y.
die
Wahrscheinlichkeiten
(die Werte können in einer Tabelle notiert werden).
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert
E(XY )
(e) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y
)
des Produkts.
und den Korrelationskoezienten
(f ) Sind
X
und
Y
unkorreliert oder positiv oder negativ korreliert?
(g) Sind
X
und
Y
unabhängig?
Ausgabe: Montag, 30.5.14
ρ(X, Y ).
Abgabe: Montag, 6.6.14