9. Übungsblatt - Mathematik@TU

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Jürgen Kindler
Brigitte Walther
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
WS 2002/03
9./10.1.2003
Mathematik und Statistik für Biologen
9. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G25
a) Ein Rouletterad ist in 37 gleichgroße Segmente unterteilt, die mit den Ziffern 0, 1, . . . , 36
beschriftet sind. Ein Spieler setzt 10 EUR auf das Ereignis gerade Zahl“. Ergibt sich
”
eine der Zahlen 2, 4, 6, . . . , 36, so erhält der Spieler zu seinem Einsatz weitere 10 EUR,
ansonsten ist sein Einsatz verloren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
der Zufallsvariablen X, die den Reingewinn des Spielers beschreibt, und berechnen Sie
Erwartungswert und Varianz von X.
b) Eine Studentin möchte mit dem Bus zur Hochschule fahren. Man kann annehmen,
dass die Wartezeit X der Studentin an der Bushaltestelle gleichmäßig zwischen 0 und
15 Minuten verteilt ist. Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X hat daher

folgende Gestalt:

für x < 0,
0
F (x) = x/15 für 0 ≤ x ≤ 15,


1
für 15 < x.
Bestimmen Sie eine Dichte f sowie Erwartungswert und Varianz von X.
Aufgabe G26
Die Zufallsvariable X beschreibe die Größe (in mm) einer bestimmten Pflanze im Alter von
30 Tagen. Es wird angenommen, dass X normalverteilt ist mit Erwartungswert E(X) = 100
und Varianz V ar(X) = 25.
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(i) P (X ≤ 106)
(ii) P (90 ≤ X ≤ 110)
(iii) P (X > 107)
b) Bestimmen Sie die Quantile x0.9 und x0.25 der Verteilung von X.
Aufgabe G27
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samenkorn einer bestimmten Blumenart unter geeigneten Versuchsbedingungen innerhalb von 14 Tagen keimt, betrage 0.95. Bei einem Versuch
werden 100 solche Samenkörner beobachtet. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl
derjenigen Samenkörner, die innerhalb von 14 Tagen keimen.
a) Geben Sie unter geeigneten Annahmen die Verteilung von X an.
b) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz von X an.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≥ 98).
d) Geben Sie mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation jeweils einen Näherungswert
für die Wahrscheinlichkeiten P (X ≥ 98) und P (80 ≤ X ≤ 95).
Hausübungen
Abgabe am 16./17. Januar 2003
Aufgabe H25
a) Auf dem Jahrmarkt findet man oft folgendes Würfelspiel: Ein Spieler darf auf eine
der Zahlen 1, 2, . . . , 6 setzen. Dann werden drei Würfel geworfen. Erscheint seine Zahl
ein-, zwei- oder dreimal, so erhält er das ein-, zwei- bzw. dreifache seines Einsatzes von
5 EUR zurück. Anderenfalls verliert er seinen Einsatz. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, die den Reingewinn
des Spielers beschreibt. Interpretieren Sie das Ergebnis.
b) Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit folgender Dichte f :
(
1 − 12 x für 0 ≤ x ≤ 2,
f (x) =
0
sonst.
Geben Sie die Verteilungsfunktion und den Erwartungswert von X an. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit P (1 ≤ X ≤ 3).
Aufgabe H26
Nach der Einnahme eines bestimmten Medikaments treten bei einer zufällig ausgewählten
Person mit Wahrscheinlichkeit p = 0.02 Nebenwirkungen auf. Das Medikament werde 200
Personen verabreicht. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Personen, bei denen
Nebenwirkungen auftreten.
a) Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 2).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X > 1).
d) Geben Sie mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation jeweils einen Näherungswert
für die Wahrscheinlichkeiten P (X ≤ 2) und P (4 ≤ X ≤ 10) an.
Aufgabe H27
Die Zufallsvariable X beschreibe das Gewicht von einem Straußenei (in kg). Es wird angenommen, dass X normalverteilt ist und die Kenngrößen E(X) = 1.5 sowie E(X 2 ) = 2.34
besitzt.
a) Bestimmen Sie die Varianz von X.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
(i) P (X ≤ 1.65)
(ii) P (X ≥ 2.1)
(iii) P (1.2 ≤ X ≤ 1.8)
c) Geben Sie das 0.3-Quantil und den Median der Verteilung an.
Nicht vergessen!
Termin der Semestralklausur: 7. Februar, 18.00 – 20.00 Uhr
Für die Teilnahme an der Semestralklausur ist eine Anmeldung bis spätestens 31. Januar
2003 im Internet erforderlich. Den Link dafür finden Sie auf der Website der Veranstaltung,
oder Sie gehen direkt nach http://www.tu-darmstadt.de/hrz/test/lysis/anmeldung.php.