ETWR – Aufgabenblatt 5

ETWR – Aufgabenblatt 5
Aufgabe 1
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Träger
(
)
und
{
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert ( ) und die Varianz
( ).
Aufgabe 2
Die Zufallsvariable X hat den Erwartungswert -3 und die Varianz 25. Bestimmen Sie
Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariablen: Y  4 X 
1
.
2
Aufgabe 3 (stetige Zufallsvariablen)
Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit der Dichte
24x 4 , für x  c
f X ( x) 
0 , sonst
(a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters c.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und die Varianz von X.
(d) Berechnen Sie den Median der Zufallsvariablen X.
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Aufgabe 4 (bivariate stetige Zufallsvariablen)
Gegeben Sie die folgende gemeinsame Dichtefunktion von X1 und X2:
(
)
{
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion von X 1 und X 2 .
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P( X1  0.2, X 2  0.7) .
(c) Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Randverteilung von X 1 .
(d) Bestimmen Sie E  X 1  , Var  X1  und E  X1 X 2  .
Aufgabe 5 (diskrete Zufallsvariablen - Binomialverteilung)
Bei ei e P
u g wi d ei em Ka dida e ei “Mul iple-Ch ice”–Fragebogen
vorgelegt. Dabei stehen unter jeder der neun Fragen in zufälliger Reihenfolge die
richtige und zwei falsche Antworten. Zum Bestehen der Prüfung müssen mindestens
50% Antworten richtig angekreuzt werden. Ein Kandidat kreuzt bei jeder Frage eine
der Antworten zufällig an.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?
(b) Sei die Zufallsvariable X die Anzahl der richtigen Antworten, die man durch
zufälliges Ankreuzen erreicht. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die
Varianz von X.
Aufgabe 6 (diskrete Zufallsvariablen – Binomial-&
Hypergeometrische Verteilung)
Eine Urne enthält 50 Kugeln, von denen fünf rot sind.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwei rote Kugeln
ziehen, wenn Sie vier Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne ziehen?
(b) Wie groß ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit, wenn Sie viermal mit
Zurücklegen ziehen?
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