Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Diskrete und stetige Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable X, die alle Werte aus R bzw. eines Intervalls annehmen kann, heißt stetig,
z. B. X = Gewicht eines Neugeborenen. Nimmt X nur einzelne Werte an, so ist sie diskret.
1. diskrete Zufallsvariablen/Verteilungen
Binomialverteilung
n
k
P (X = k) =
· pk · q n−k ,
q =1−p
hypergeometrische Verteilung
r
N −r
·
k
n−k
N
n
Ziehen ohne Zurücklegen
P (X = k) =
N
n
r
k
geometrische Verteilung
k−1
P (X = k) = (1 − p )
Grundgesamtheit
Stichprobenumfang
Anzahl aller Merkmalsträger
Anzahl der Merkmalsträger
in der Stichprobe
·p
Wahrscheinlichkeit für das erstmalige Auftreten
eines Treffers an k-ter Stelle.
Poissonverteilung
P (X = k) =
µk −µ
·e
k!
Näherung für die Binomialverteilung
für n ≥ 100 und p ≤ 0,1
2. stetige Zufallsvariable/Verteilung
Exponentialverteilung
Dichtefunktion:
f (x) =
(
0
λe−λx
Für stetige Zufallsvariablen gilt:
Verteilungsfunktion: F (x) = P (X ≤ x) =
Z b
P (a ≤ X ≤ b) =
f (x) dx = F (b) − F (a)
für x < 0
Z
1
E(X) = λ
x≥0
x
f (t) dt
F ′ (x) = f (x)
−∞
a
µ = E(X) =
Z
b
x · f (x) dx
a
V (X) =
Z
a
b
2
(x − µ) · f (x) dx =
Z
b
x2 · f (x) dx − µ2
a
c Roolfs
σ=
p
V (x)