WS 2013/2014 Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C)

Übungen “Höhere Wahrscheinlichkeitstheorie”
WS 2013/2014
Institut für
Mathematik C
Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C)
10. Dezember 2013
Hinweis: Dies ist das endgültige Aufgabenblatt für die Übung am 10.12.2013.
30. Sei (RN )N ∈N eine Folge natürlicher Zahlen, so daß ein Θ ∈ [0, 1] existiert mit limN →∞ RN /N =
Θ. Man zeige, daß die hypergeometrische Verteilung HN,RN ,n gegen die Binomialverteilung mit den Parametern n und Θ schwach konvergiert.
√
Hinweis: Verwenden Sie die Stirlingformel: n! ∼ nn e−n 2πn.
31. Sei (Θn )n∈N eine Folge reeller Zahlen in (0, 1), so daß ein ξ > 0 existiert mit limn→∞ nΘn =
ξ > 0. Man zeige, daß die Binomialverteilung mit den Parametern n ∈ N und Θn schwach
konvergiert. Bestimmen Sie die Grenzverteilung.
33. Sei X eine Zufallsvariable, deren k-tes Moment existiert. Zeigen Sie, daß dann auch alle
l-ten Momente mit 0 ≤ l < k existieren.
34. Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F , deren k-tes Moment existiert. Zeigen Sie den Induktionsschritt l → l + 1 beim Beweis der Gleichung (siehe Satz in der
Vorlesung)
Z
(l)
ϕ (t) = (ix)l eitx dF (x) für l ≤ k.
R
35. Man beweise für zwei Zufallsvariablen X und Y und a, b ∈ R (ϕZ (t) ist die charakteristische Funktion zur Zufallsvariable Z):
(a) ϕaX+b (t) = eibt ϕX (at)
(b) Falls X und Y unabhängig sind: ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t)
36. Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen zu folgenden Verteilungen:
(a) Poissonverteilung mit Parameter λ > 0
(b) Stetige Gleichverteilung auf dem reellen Intervall [a, b]
37. Berechnen Sie die charakteristischen Funktion der Standardnormalverteilung bzw. der
Normalverteilung N (µ, σ 2 ). (Hinweis: Berechnen Sie die Momente der Standardnormalverteilung.)
4
38. Zeigen Sie, daß ϕ(t) = e−t keine charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen sein
kann.
39. Beweisen Sie folgendes Korollar zur Vorlesung:
Korollar:
(a) Sei X eine Zufallsvariable, für die alle Momente existieren und
lim
n→∞
E[|X|n ]
n!
1/n
=0
gilt. Dann ist die Verteilung von X durch die Folge (mn )n≥0 bstimmt, d.h. mn (X) =
mn (Y ) für alle n ∈ N implizieren zusammen mit obiger Grenzwerteigenschaft, daß
X und Y dieselbe Verteilung besitzen.
(b) Falls X und Y beschränkt sind und mn (X) = mn (Y ) für alle n ∈ N gilt, so besitzen
X und Y dieselbe Verteilung.
(c) Seien X und Y zwei reellwertige Zufallsvariablen mit Dichtefunktionen f, g : [a, b] →
[0, ∞) mit
Z b
Z b
g(x) dx = 1
f (x) dx =
a
a
und mn (X) = mn (Y ) für alle n ∈ N. Dann ist f = g λ-fast überall. (Hier ist λ das
Lebesgue-Maß auf R.)
40. Man betrachte eine Verteilungsfunktion F auf R und zugehörige charakteristische Funktion ϕ. Zeigen Sie:
Z
1 c −itx
F (x) − F (x−) = lim
e
ϕ(t) dt,
c→∞ 2c −c
wobei F (−x) der linksseitige Grenzwert von F an der Stelle x ist.