Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik

Dr. S. Klein
Dipl.-Math. M. Eberts
Dipl.-Math. T. Pfrommer
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Wahrscheinlichkeitstheorie
Blatt 12
23./24. Januar 2012
•
•
•
•
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: bis Mittwoch, 25. Januar 2012, um 17:00 Uhr
Seitenlimit: vier Seiten
Zulässig sind nur Abgaben im PDF-Format!
Bitte versehen Sie jede Ihrer Abgaben mit Ihrem Namen, Ihrer Übungsgruppennummer
und Seitenzahlen!
• Bei R-Aufgaben ist immer ausführlich kommentierter Quellcode mitanzugeben!
Aufgabe 66. (Votieraufgabe) (1 Punkt)
Sei (Ω, A) ein Messraum und (Xn )n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen Xn : Ω → R . Zeigen
Sie, dass dann die folgenden Ereignisse in der σ-Algebra T∞ ((Xn )n∈N ) liegen:
a) {ω ∈ Ω | lim sup Xn (ω) ≤ α} für α ∈ R . (vlg. Aussage 3.3.(b))
b) {ω ∈ Ω | lim inf Xn (ω) ≤ α} für α ∈ R . (vlg. Aussage 3.3.(c))
Aufgabe 67. (Votieraufgabe) (1+1+1+1+1 Punkte) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, X1 , X2 , . . . , reelle Zufallsvariablen. Zeigen Sie jeweils durch ein Gegenbeispiel im
Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), λ), daß folgende Implikationen im Allgemeinen nicht
gelten
Lp
a) Xn −→ X ⇒ Xn → X P -fast sicher
Lp
b) Xn → X P -fast sicher ⇒ Xn −→ X
c) Xn → X stochastisch ⇒ Xn → X P -fast sicher
Lp
d) Xn → X stochastisch ⇒ Xn −→ X
e) Xn → X in Verteilung ⇒ Xn → X stochastisch
Aufgabe 68. (Votieraufgabe) (1+1 Punkte) Sei (Xn )n∈N eine Folge von reellen Zufallsvariablen
auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Beweisen Sie die Aussage
(
)
P lim Xn = 0 = 1 (n → ∞)
n→∞
entweder unter der Bedingung
(
)
1
1
(a)
P |Xn | ≥
≤ 2
∀
n
n
n∈N
oder
(b)
∀ ∀
δ>0 n∈N
1
P (|Xn | ≥ δ) ≤
1
.
δn2
Aufgabe 69. (Votieraufgabe) (1+1 Punkte)
Ein Bauelement besitze eine zufällige Lebensdauer. Sobald es ausfällt, wird es erneuert, d.h. durch
ein gleichartiges ersetzt. Zum Zeitpunkt t = 0 werde das erste Bauelement eingesetzt.
• Die nichtnegative Zufallsvariable Xn (n ∈ N) gebe die Lebensdauer des n–ten Baulementes
an.
n
∑
Xi mit S0 := 0 gebe den n–ten Erneuerungszeitpunkt an.
• Die Zufallsvariable Sn :=
i=1
• Die Zufallsvariable Nt := sup{n ∈ N0 : Sn ≤ t} gibt die Anzahl der im Zeitintervall [0, t]
auftretenden Erneuerungen an (t ≥ 0).
Hierbei wird angenommen, dass die Lebensdauern X1 , X2 , . . . unabhängig und identisch verteilt
sind mit P (X1 > 0) > 0 und EX1 < ∞. Beweisen Sie mit Hilfe des starken Gesetzes der grossen
Zahlen:
a) Sn → ∞ P –fast sicher (n → ∞).
b) Doobscher Satz der Erneuerungstheorie:
Nt
1
→
P –fast sicher (t → ∞).
t
EX1
Verwenden Sie hierbei, dass Nt → ∞ P –fast sicher (t → ∞).
Aufgabe 70. (schriftlich) (7 Punkte) Über P -fast-sichere Konvergenz.
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Xn )n∈N eine Folge von reellen Zufallsvariablen
Xn : Ω → R und X, Y : Ω → R zwei weitere reelle Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass dann gilt:
P -f.s.
P -f.s.
a) Wenn Xn −−−→ X und auch Xn −−−→ Y gilt, so ist X=Y .
P
b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
P -f.s.
(i) Xn −−−→ X
(
)
(ii) ∀ε > 0 : limn→∞ P supm≥n |Xm − X| > ε = 0
(
)
(iii) ∀ε > 0 : limn→∞ P supm≥n |Xm − Xn | > ε = 0
Die Implikation (iii) ⇒ (i) ist ein Cauchykriterium.
c) Es existiere eine Folge positiver Zahlen (εn )n∈N mit limn→∞ εn = 0 und
∞
∑
P (|Xn − X| ≥ εn ) < ∞ .
n=1
P -f.s.
Dann gilt Xn −−−→ X .
Aufgabe 71. (schriftlich) (3 Punkte)
Mäxchen sieht dem Spiel an einem Roulettetisch zu. Er beobachtet, wie in fünf aufeinanderfolgenden Runden die Kugel auf ein rotes Feld fällt. Daraufhin überlegt er sich: Das Roulettespiel
genügt bestimmt dem Gesetz der großen Zahlen, d.h. die relativen Häufigkeiten der beiden Farben
nähern sich für eine große Zahl von Spielen immer mehr ihren tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten,
nämlich dem Wert 21 an. Da ich in der Vergangenheit das Ergebnis rot“ viel häufiger beobach”
tet habe, als nach seiner Wahrscheinlichkeit zu erwarten gewesen wäre, wird künftig das andere
Ergebnis schwarz“ häufiger auftreten, um das Defizit wieder wettzumachen.
”
Finden Sie die Überlegung von Mäxchen überzeugend? Warum oder warum nicht?
2