Blatt 9 - Institut für Mathematische Stochastik

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Dipl.-Math. Martin Radloff
INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK
Wintersemester 2014/15
10. Dezember 2014, 17:25
Übungen zur Vorlesung
„Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“
Blatt 9†
Abgabe am Freitag, den 19.12.2014, zur Übung oder bis 10:45 Uhr G18-405
Besprechung am Freitag, den 09.01.2015
Aufgabe 44 (keine Abgabe)
Seien X und Y zwei stochastisch unabhängige und identisch R(0, 1)-verteilte reelle Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, C, P). Man betrachte die reelle Zufallsvariable
Z := − 12 X 2 + Y 2 + XY .
Berechnen Sie E(Z) und Var(Z) .
Aufgabe 45 (6 Punkte)
a) Bestimmen Sie die charakteristische Funktion ϕX für
(i) X ∼ Exp(λ)
(ii) X ∼ Poi(λ) .
b) Folgern Sie, dass für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen Xj ∼ Poi(λj ),
j = 1, . . . , n, gilt:
!
n
n
X
X
Xj ∼ Poi
λj .
j=1
j=1
Aufgabe 46 (3 Punkte)
Zeigen Sie:
Ist X eine Zufallsvariable mit symmetrischer Verteilung, d. h. X und −X haben dieselbe
Verteilung, dann gilt ϕX (−t) = ϕX (t) für alle t ∈ R und ϕX ist reellwertig.
Hinweis: Zeigem Sie ϕX (−t) = ϕX (t) (komplex konjugiert).
Aufgabe 47 (4 Punkte)
Es gilt (hier ohne Beweis):
Ist X eine reelle Zufallsvariable mit E(|X|k ) < ∞, k ∈ N, dann gilt
1 dk ϕX (t) k
E(X ) = k
.
dtk t=0
i
Sei X ∼ N(0, 1). Berechnen Sie die Momente E(X k ) für alle k ∈ N.
†
http://www.imst3.ovgu.de/-p-190
1
Aufgabe 48 (2 Punkte)
Betrachten Sie bei gegebenem α > 0 eine Folge (Xn )n≥1 von reellen Zufallsvariablen mit
P(Xn = n) =
1
= 1 − P(Xn = 0) ∀ n ≥ 1.
nα
Untersuchen Sie diese Folge auf stochastisch Konvergenz.
Aufgabe 49 (4 Punkte)
Seien (Xn )n≥1 und (Yn )n≥1 Folgen von reellen Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, C, P) und seien X und Y zwei reelle Zufallsvariablen auf Ω. Es gelte
st
st
Xn −→ X und Yn −→ Y .
st
Zeigen Sie, dass Xn + Yn −→ X + Y gilt,
a) mit Hilfe des „Continuous Mapping Theorem“ (Theorem 4.4).
b) ohne Verwendung der Theoreme 4.3 und 4.4.
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