Übungsblatt

Übungsblatt
zur Vorlesung "Stochastik"
1. Aufgabe
Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xm , Xm+1 , ..., Xm+n seien positiv, identisch verteilt. Man berechne
EB
Hinweis: Berechnen Sie zunächst EB
X1 +...+Xm
F
X1 +...+Xm+n
X1
F
X1 +...+Xm+n
.
2. Aufgabe
Die diskreten Zufallsvariablen X und Y besitzen untenstehende gemeinsame Verteilungstabelle (Table 1).
Man berechne
1) Marginalverteilungsdichten f X @xD und fY @yD
2) E@X D, E@Y D und V@X D, V@Y D
3) Die Wahrscheinlichkeit P[{X<Y}], P[{X=Y}] und P[{X>2Y}].
4) Die Kovarianz K@X , Y D und den Korrelationskoeffizient R@X , Y D.
5) Prüfen Sie, ob die Zufallsvariable X und Y unabhängig sind.
X\Y 1
2
3
4
5
6
1
0.02 0.00 0.04 0.08 0.02 0.00
2
0.06 0.03 0.01 0.02 0.04 0.03
3
0.06 0.05 0.04 0.05 0.05 0.00
4
0.02 0.03 0.03 0.09 0.00 0.05
5
0.01 0.02 0.03 0.03 0.07 0.02
3. Aufgabe
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig und besitzen den Wertebereich 8 j1 , j2 , j3 < bzw. 8k1 , k2 , k3 <.
Vervollständigen Sie untenstehende Wahrscheinlichkeitstabelle. Bestimmen Sie V@X Y D.
X \ Y k1
k2
k3 S
j1
0.03 0.15 p13 p1.
j2
0.04 p22 p23 p2.
j3
0.03 p32 p33 p3.
S
p.1 p.2 p.3 p
4. Aufgabe
Sei Z eine im Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable und seien X1 ,X2 ihre ersten beiden Dezimalstellen.
Gesucht ist E@X1 × X2 D und K@X1 , X2 D.
Uebungsblatt.nb
2
5. Aufgabe
Ein Würfel wird wiederholt geworfen. Die Zufallsvariable X bzw. Y bezeichne die Nummer jenes Wurfes, bei
dem das erste Mal eine "Eins" bzw. eine "Zwei" geworfen wurde. Man bestimme die gemeinsame
Verteilungsdichte von X und Y.