Klausur Stochastik 1

Stochastik 1
Prof. Jean Bertoin
FS 2013
Klausur Stochastik 1
3 Stunden, ohne Unterlagen
Aufgabe 1 (Zwei Fragen aus der Vorlesung).
(i) Formuliere den ersten Teil des Lemmas von Borel-Cantelli für eine Folge von
Ereignissen Λ1 , . . . (ohne Beweis).
(ii) Welche Annahme wird für den zweiten Teil des Lemmas von Borel-Cantelli benötigt,
und wie lautet die Aussage (ohne Beweis)?
Aufgabe 2 (von Übungsblatt Nr. 9). Seien X, Y zwei reellwertige Zufallsvariablen,
und seien φX , φY ihre charakteristischen Funktionen. Sei φX+Y die charakteristische
Funktion von X + Y .
(i) Zeige: Falls X und Y unabhängig sind, so folgt
φX+Y = φX φY .
(ii) Nun nehme an dass gilt
φX+Y = φX φY .
Folgt daraus die Unabhängigkeit von X und Y ? Gib entweder einen Beweis oder
finde ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 3. Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [1, ∞). Die Verteilung von X sei
absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, mit Dichte
PX (dx)/dx = cx−α−1 ,
x ≥ 1,
wobei α > 0 ein Parameter und c > 0 eine von α abhängige Konstante ist.
(i) Drücke den Wert von c als Funktion von α aus.
(ii) Berechne
F X (x) = 1 − FX (x) = P(X > x),
x ≥ 1.
(iii) Sei X1 , . . . , Xn . . . eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen, alle mit derselben
Verteilung wie X. Wir definieren für jede natürliche Zahl n ≥ 1
−1/α
Mn = n
max Xk .
k=1,...,n
Schreibe die Verteilungsfunktion von Mn als Funktion von F X .
(iv) Beweise dass Mn in Verteilung gegen eine Zufallsvariable M∞ konvergiert. Bestimme die Verteilungsfunktion von M∞ .
1
Stochastik 1
Prof. Jean Bertoin
FS 2013
(v) Zeige dass die Verteilung von M∞ absolutstetig ist bezüglich des Lebesgue-Maßes
und berechne ihre Dichte.
Aufgabe 4. Sei X, X1 , . . . , Xn , . . . eine Folge unabhängiger und gleichverteilter reellwertiger Zufallsvariablen. Wir nehmen an dass X den Median m ∈ R hat, d.h.
P(X ≤ m) = P(X > m) = 1/2.
Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 sei
Cn = Card{k = 1, . . . , n : Xk ≤ m} − Card{k = 1, . . . , n : Xk > m}.
√
Zeige dass die Folge Cn / n für n → ∞ in Verteilung gegen eine Zufallsvariable konvergiert und bestimme ihre Verteilung.
Hinweis: Betrachte für jede natürliche Zahl n ≥ 1 die Zufallsvariable ξn = 1Xn ≤m −1Xn >m
und drücke Cn als Reihe bezüglich der Variablen ξi aus.
Aufgabe 5. Betrachte die Matrix
D=
1 1
1 4
.
(i) Zeige dass D die Kovarianz-Matrix eines zentrierten Gauß-Vektors (X, Y ) ist.
(ii) Bestimme die Dichte von (X, Y ) bezüglich des Lebesgue-Maßes.
(iii) Beweise dass (X + Y, X − Y ) ebenfalls multivariat normalverteilt und zentriert ist,
und berechne seine Kovarianz-Matrix.
(iv) Finde eine Zufallsvariable Z mit Standard-Normalverteilung N (0, 1), die unabhängig von 2X + Y ist. Hinweis: Betrachte eine geeignete Linearkombination der
Form Z = aX + bY .
2