(4 Punkte) (a)

SS 17
Marinescu
1. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie
Abgabe: 24-25.04.2017 in den Übungen
1. Aufgabe
(4 Punkte)
4
√ · Berechne z 6 .
(a) Bestimme die Kartesische und Polarform der Zahl z = −
1+i 3
n n
1 + i√3 20
1−i
1+i
200
+
, (wobei n ∈ N),
(b) Berechne (1 + i) ,
.
1−i
1+i
1−i
2. Aufgabe
(4 Punkte)
2
(a) Sei w = a + ib ∈ C. Bestimme z = x + iy ∈ C so dass z = w.
√
(b) Bestimme die Quadratwurzeln von w = 3 + i in Kartesichen und Polarform.
π
Berechne cos 12
·
(c) Löse die Gleichungen z 2 − 2iz − 1 + 2i = 0, iz 8 + iz 4 + 1 + i = 0.
√ 4
4
(1
+
i
3)
√ , z5 =
(d) Löse die Gleichungen z 6 = −
·
(1 + i)2
1+i 3
3. Aufgabe
(4 Punkte)
Über den Seiten eines spitzwinkligen Dreiecks ABC werden nach außen gleichseitige
Dreiecke ABC 0 , BCA0 bzw. ACB 0 mit den Mittelpunkten D, E bzw. F erichtet.
Zeige dass das Dreieck DEF gleichseitig ist.
Zusatzaufgabe
(a) Sei a ∈ C, |a| < 1. Zeige, dass für alle z ∈ C gilt
z − a 2 (1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
=
·
1 − 1 − āz |1 − āz|2
z−a ≤ 1.
Finde die komplexen Zahlen z mit 1 − āz 1+z
(b) Sei z ∈ C\{1}. Zeige |z| = 1 ⇔
∈ iR.
1−z
(+ 4 Punkte)