Aufgaben 1 zu komplexen Zahlen - pythagoras-club

Aufgaben komplexe Zahlen
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1.
u = 7 - 5i
v=2+i
w = -5 + 2i
Berechne
a)
u–v–w
b)
w + (v - u)
c)
u·v·u
d)
u² + v²
e)
Im(iw + uv)
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2.
Löse in der Grundmenge C:
a)
x² = -25
b)
2x² + 32 = 0
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3.
Beweise folgende Sätze und formuliere sie in Worten.
a)
z + z̅  R
b)
z ∙ z̅  R
c)
z − z̅ ist rein imaginär
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4.
Berechne
a)
15i : 3
b)
15 : 5i
c)
(5+3i)/(2+4i)
d)
(13-5i)/(1-i)
e)
1/(3+i)
f)
i  (1+2i)/(3-4i)
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5.
Gib die Lösungen in der Summenform und in der Polarform an und stelle sie in der komplexen
Ebene grafisch dar.
2
3
2
a) z = -i
b) z = - 8i
c) z = -16i
6
4
5
d) z = -1
e) z = 16cis120°
f)
z = cis270°
6.
Schreibe die Lösungen in Summenform und Polarform:
2
2
a)
z = 4 + 3i
b)
z = 35 - 12i
3
3
c)
z = 52 + 47i
d)
z - 2 + 2i = 0
2
3
e)
z = 7 - 2,4 i
f)
z = - 4 - 4√3 i
7.
Berechne
8
a)
(1 + i) =
d)
6
(2 - 2i) =
b)
(1 + 3  i ) =
e)
 1
1   
 i
6
8
8.
Gleichungen mit reellen Koeffizienten. Bestimme die Lösungsmenge in C:
2
3
2
a)
z - 8z + 65 = 0
b)
z - 4z + 6z = 0
5
4
3
4
2
c)
z - 2z + 2z = 0
d)
z + 5z + 4 = 0
3
2
e)
z + 3 z + 4z - 8 = 0 (wobei eine Lösung z1  Z und -3  z1  3 )
9.
a)
b)
10.
Bestimme a , b  R so, dass z1 = 3 + i eine Lösung der Gleichung
3
2
z - 12z + az + b = 0 ist.
Bestimme a, b  R so, dass z1 = -1- 2i eine Lösung der Gleichung
3
2
3z + az + bz - 20 = 0 ist.
4
3
2
Zeige, dass 3i eine Lösung der Gleichung z - 8z + 26z - 72z + 153 = 0 ist und bestimme die
übrigen Lösungen.