Klausur Mathematik I/II KL / 1 15 Punkte Aufgabe 1

Klausur Mathematik I/II
15 Punkte
KL / 1
Aufgabe 1
Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt
2n
X
1
k(k + 1) = n(n + 1)(7n + 5) .
3
k=n
27 Punkte
Aufgabe 2
Man bestimme die Menge aller x ∈ R mit der Eigenschaft
2x + |x − 1| ≤ |x2 − 1| .
Aufgabe 3
Für a ∈ R sei die Matrix

a 1

A := 
1 1

1 1
A gegeben durch

1

1
.

a
12 Punkte
a) Für welche a ∈ R ist die Matrix A invertierbar?
Man berechne gegebenenfalls die inverse Matrix von A .
10 Punkte
b) Man löse (in Abhängigkeit von a ∈ R ) das lineare Gleichungssystem
ax1 + x2 +
x3 = 1 ,
x1 + x2 +
x3 = a ,
x1 + x2 + ax3 = 1 .
25 Punkte
Aufgabe 4
Man bestimme alle Konvergenzpunkte x ∈ R der Potenzreihe
∞
X
n=1
(−1)n √
n+2
xn .
n(n + 3)
Klausur Mathematik I/II
24 Punkte
KL / 2
Aufgabe 5
a) Man führe für die Funktion f : D(f ) ⊆ R → R mit
x2 − 4
x2 + 1
eine Kurvendiskussion nach dem folgenden Programm durch:
f (x) :=
(i) Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches, Untersuchung auf Stetigkeit,
(ii) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches (einschließlich ±∞ ),
(iii) Untersuchung auf Asymptoten,
(iv) Untersuchung auf Differenzierbarkeit, Monotonieverhalten, relative Extrema,
(v) Konvexitäts- und Konkavitätsverhalten,
(vi) Skizze.
b) Man berechne
Zβ x2 − 4
1− 2
x +1
dx ,
α
und zeige
Z∞ x2 − 4
1− 2
x +1
dx = 5π .
−∞
16 Punkte
Aufgabe 6
Man löse das Anfangswertproblem
x2 y 0 + 2xy + x3 y 3 = 0 , y(1) = 1 .
Aufgabe 7
Man führe die (unitäre) Hauptachsentransformation für die Matrix


0 0 0



A := 
0
0
i




0 −i 0
durch und mache danach die Probe, d.h.:
Klausur Mathematik I/II
KL / 3
10 Punkte
a) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A .
8 Punkte
b) Man bestimme eine Matrix U derart, dass U AU Diagonalgestalt besitzt. Man
T
mache die Probe, d.h., man berechne die Produkte AU und U (AU ) .
22 Punkte
Aufgabe 8
Gegeben sei die Funktion f : R2 → R ,
T
f (x, y) =
x
.
1 + x2 + y 2
Man bestimme die lokalen Extremstellen und ihre zugehörigen Funktionswerte der
Funktion f .