Klausur Mathematik I/II KL / 1 15 Punkte Aufgabe 1 Man beweise

Klausur Mathematik I/II
15 Punkte
KL / 1
Aufgabe 1
Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt
2n
k=n
18 Punkte
Aufgabe 2
Man bestimme die Menge aller x ∈ R mit der Eigenschaft
1<
20 Punkte
n+1
1
=
.
k(k + 1)
n(2n + 1)
|4 − 3x|
< 2.
2−x
Aufgabe 3
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
x1 + λx2 +
x3 = 1 ,
x1 +
x2 + λx3 = λ ,
x1 +
x2
= λ.
Man untersuche für alle Parameter λ ∈ R die Lösbarkeit dieses linearen Gleichungssystems, bestimme die zugehörige Lösungsmenge sowie den Rang des linearen Gleichungssystems.
20 Punkte
Aufgabe 4
Man bestimme alle Konvergenzpunkte x ∈ R der Potenzreihe
∞
n=1
n2
xn .
3
n +1
Klausur Mathematik I/II
31 Punkte
KL / 2
Aufgabe 5
a) Man führe für die Funktion f : D(f ) ⊂ R → R mit
f (x) =
x+4
x2 − 9
eine Kurvendiskussion nach dem folgenden Programm durch:
(i) Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches, Untersuchung auf Stetigkeit,
(ii) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches (einschließlich ±∞ ),
(iii) Untersuchung auf Asymptoten,
(iv) Untersuchung auf Differenzierbarkeit, Monotonieverhalten, relative Extrema,
(v) Konvexitäts- und Konkavitätsverhalten,
(Hinweis: Das Polynom x → x3 + 12x2 + 27x + 36 besitzt die einzige reelle
Nullstelle −72/3 − 71/3 − 4 ≈ −9, 57)
(vi) Skizze.
(Hinweis:
5 Punkte
√
7 ≈ 2, 646)
b) Man berechne
β
α
x+4
dx ,
x2 − 9
und gebe die Intervalle für α, β an.
24 Punkte
Aufgabe 6
Man bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
y (x) − 2y (x) + 5y(x) = x + cos x + sin x ,
y(0) = 0 = y (0) .
Aufgabe 7
Man führe die (unitäre) Hauptachsentransformation für die Matrix


√
i 2
 1
A :=  √

−i 2 0
durch und mache danach die Probe, d.h.:
Klausur Mathematik I/II
KL / 3
7 Punkte
a) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A .
8 Punkte
b) Man bestimme eine Matrix U derart, dass U AU Diagonalgestalt besitzt. Man
T
mache die Probe, d.h., man berechne die Produkte AU und U (AU ) .
T
Aufgabe 8
Gegeben sei die Funktion
f : R3 → R ,
11 Punkte
f (x, y, z) = sin(xyz) .
a) Man zeige die Identität
fxx (x, y, z) + fyy (x, y, z) + fzz (x, y, z)
+ fxy (x, y, z) + fxz (x, y, z) + fyz (x, y, z)
= (x + y + z) cos(xyz) − (x2 y 2 + x2 z 2 + y 2 z 2 + xyz(x + y + z))f (x, y, z) .
4 Punkte
b) Man bestimme die Richtungsableitung von f in Richtung v = (1, 2, 3)T .