Klausur 01191 MingI KL/1 12 Punkte Aufgabe 1

Klausur 01191
12 Punkte
MingI KL / 1
Aufgabe 1
Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen 2 ≤ n ∈ N gilt
n
X
k=2
1
1 (n − 1)(n + 2)
=
.
(k − 1)k(k + 1)
4 n(n + 1)
Aufgabe 2
6 Punkte
a) Man bestimme alle komplexen Zahlen z , die die Gleichung
z̄ 2 − z 2 = −4z̄
erfüllen.
15 Punkte
b) Man bestimme die Menge aller x ∈ R mit der Eigenschaft
|x| + |x + 2| ≤ x2 − 4 .
17 Punkte
Aufgabe 3
Man untersuche für alle Parameter λ ∈ R die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
x + λy −
z = λ,
λx + 4y + λz = 1 ,
x + λy +
z = λ.
Man bestimme für alle λ ∈ R die zugehörige Lösungsmenge sowie den Rang des
linearen Gleichungssystems.
29 Punkte
Aufgabe 4
Man bestimme die Konvergenzpunkte x ∈ R der Potenzreihen
∞
X
n−1 n
x
3n − 1
n=2
und
∞
X
n−1 n
x .
3n2 − 1
n=2
Klausur 01191
MingI KL / 2
Aufgabe 5
8 Punkte
Man berechne mit Hilfe der Regeln von de l’Hospital die Grenzwerte
√
1 + x sin x − cos x
(i) lim
,
x
x→0
sin2
2
µ
sin x
x
11 Punkte
(ii) lim
12 Punkte
Aufgabe 6
x→0
¶ 32
x
.
Man löse das Anfangswertproblem
√
(1 + x2 )y 0 − 2y − (1 + x2 )earctan x y = 0 , y(0) = 1 .
Aufgabe 7
Gegeben sei die Matrix

 1

A=
 0

1

1 −1 

2
0 
 .

1
1
12 Punkte
a) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A .
14 Punkte
b) Man bestimme eine invertierbare Matrix P , so dass


 λ1 0 0 


 .
P −1 AP = 
0
λ
0
2




0 0 λ3
gilt, wobei λ1 , λ2 , λ3 die Eigenwerte von A sind. Man mache die Probe, d.h.,
man berechne die Produkte AP und P −1 (AP ) .
Klausur 01191
16 Punkte
MingI KL / 3
Aufgabe 8
Gegeben sei die Funktion f : {(x, y)T ∈ R2 : x 6= 0, y 6= 0} → R ,
f (x, y) =
1 1
− − 4x + y .
y x
Man bestimme die lokalen Extremstellen und ihre zugehörigen Funktionswerte der
Funktion f .