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AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE
von
Prof. Dr. H.-W. Burmann
1. Kosinus.
a) Bestimme alle komplexen Nullstellen der Kosinusfunktion.
b) Es sei a ∈ R. Bestimme das Bild der achsenparallelen Geraden {z ∈ C | Re z = a}
und {z ∈ C | Im z = a} unter dem Kosinus. Skizziere die Bilder im Falle a = 1.
2. Potenzreihen.
a) Bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen.
¶k2
∞
∞
∞ µ
∞
(2k − 1)2k−1 k
(k!)2 k
1
k
k
∑ k!z , ∑ (2k)! z , ∑ 1 + k z , ∑ 22k (2k)! z .
k=1
k=1
k=1
k=1
b) Beweise
∞
1
∑ (n + 1)zk = (1 − z)2
k=0
für alle komplexen Zahlen z mit |z| < 1.
3. Abelscher Grenzwertsatz.
i) Es seien a ∈ C und {an }n∈N eine Folge komplexer Zahlen mit lim an = a. Zeige
n→∞
∞
lim (1 − x) ∑ an xn = a.
x→1−0
∞
n=1
∞
ii) Es seien ∑ an und ∑ bn konvergente Reihen und es sei vorausgesetzt, daß die Reihe
∞
n=0
n=0
∑ cn mit cn := ∑ ak bl ebenfalls konvergiere. Zeige, daß dann automatisch
n=0
k+l=n
∞
Ã
∞
!Ã
∑ cn = ∑ a n
n=0
n=0
·
∞
!
∑ bn
n=0
gilt.
4. Konvergenz.
Bestimme alle z ∈ C, für die die folgenden Reihen konvergieren.
∞
zm
,
i) ∑
m=1 m
∞
cos mz
,
ii) ∑
m
m=1
∞
sin mz
iii) ∑
.
m
m=1
Hinweis zu i). Nutze partielle Summation.
Drittes Blatt, Ausgabe am 4. Mai 2001