Aufgaben zur Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Holger Dette WS 2011

Aufgaben zur Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Holger Dette
WS 2011/2012
Blatt 7
Abgabe: Montag, 28. November 2011, 10:00 Uhr in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Untersuche das Konvergenzverhalten der Folgen (an )n∈N und bestimme gegebenenfalls
den Grenzwert:
4n + 1
a) an :=
,
5n
d) an :=
!
1
1+ −1 ,
n
r
b) an := n
c) an :=
2
n+1
n n
+
(−1)
(n + 2)2
n2 + 2
(n + 1)3 + n3
7n3 − 8n2 + 9
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Bestimme für die Folgen alle Häufungswerte, sowie lim supn→∞ an und lim inf n→∞ an .
(a)

1
für n = 3k − 2
 1 + 2n−1
2 + n/(n − 1) für n = 3k − 1
an :=

2
für n = 3k
(k ∈ N)
(b)
an = (1 + (−1)n )(−1)n(n+1)/2
(c)
an :=
n!
2n
n!
nn
für n = 2k − 1
(k ∈ N)
für n = 2k
Aufgabe 3.
(a) Zeige: für konvergente reelle Zahlenfolgen (an )n∈N
(4 Punkte)
gilt: limn→∞ |an | = limn→∞ an (b) Von der Folge (bn )n∈N sei bekannt, dass die Teilfolgen (b2n )n∈N , (b2n−1 )n∈N und
(b3n )n∈N konvergieren. Beweise oder widerlege: (bn )n∈N konvergiert.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Seien a und b positive reelle Zahlen mit a < b. Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N seien
rekursiv definiert durch a1 := a, b1 := b und für n ∈ N:
an+1 :=
2an bn
,
an + b n
bn+1 :=
an + b n
.
2
Zeige, dass [an , bn ] für n ∈ N eine Intervallschachtelung für das geometrische Mittel
der Zahlen a und b liefert.
√
ab
TIPP: Zeige zuerst, dass [an , bn ] eine Intervallschachtelung ist. Berechne danach mit
vollständiger Induktion die Produkte an bn .
Hinweis: die Zettel sind aufgabenweise in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie auf Ihren Lösungen auch Ihre Übungsgruppe (Leiter und Nummer),
dort erfolgt dann die Rückgabe der korrigierten Aufgaben.