Ubungen zur Vorlesung

SoSe 2017
Blatt 2
Prof. Dr. Guido Kings
Johannes Sprang
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
(Abgabetermin: Freitag 12.5.2017, 12:00)
Aufgabe 1:
(5 Punkte)
Wir betrachten eine Gruppe mit n ∈ N, n ≥ 2 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
haben mindestens zwei Personen aus dieser Gruppe am selben Tag Geburtstag? Wir gehen
davon aus, dass das Jahr 365 Tage hat und die Geburt an jedem Tag des Jahres gleich
wahrscheinlich ist.
a) Modellieren Sie die geschilderte Situation durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Beschreiben Sie das Ereignis
An = Zwei Personen der Gruppe haben am selben Tag Geburtstag.“
”
in diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
b) Bestimmen Sie die Menge aller n ∈ N, n ≥ 2 mit P (An ) ≤ 21 .
Aufgabe 2:
(5 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir Folgen (An )n∈N von Einpunktmengen An = {kn } ⊆ N
mit kn ∈ N.
a) Gibt es eine Folge (An )n∈N von Einpunktmengen mit lim supn→∞ An = N?
(3 P.)
b) Für welche endlichen Teilmengen B ⊆ N kann man eine Folge (An )n∈N von Einpunktmengen finden, so dass lim inf n→∞ An = B?
(2 P.)
Aufgabe 3:
Für welche Konstante c definieren die folgenden Ausdrücke Zähldichten?
b) ρ(k) = c ·
(−1)k−1
, k∈N
k
n k
n−k ,
k p (1 − p)
c) ρ(k) = c ·
λk
k! ,
d) ρ(k) = c ·
(−λ)k
k! ,
a) ρ(k) = c ·
e) ρ(k) = c · (1 −
(1 P.)
k ∈ N0 , n ∈ N, p ∈ [0, 1]
λ > 0, k ∈ N0
(1 P.)
(1 P.)
λ > 0, k ∈ N0
p)k−1 ,
(5 Punkte)
(1 P.)
p ∈ (0, 1], k ∈ N
(1 P.)
Aufgabe 4:
(5 Punkte)
Sei (Ω, A , P ) ein W-Raum und An ∈ A , n ∈ N eine Familie von Ereignissen. Zeigen Sie:
Falls limn→∞ P (An ) = 1 dann gibt es eine Folge natürlicher Zahlen (nk )k∈N mit nk → ∞
für k → ∞ und
\
P(
Ank ) > 0.
k∈N