Analysis 1 WS 2010/2011 5. Übungsblatt 24. Man bestimme lim √ n

Analysis 1
WS 2010/2011
5. Übungsblatt
p
p
√
√
24. Man bestimme limn→∞ ( n + n − n − n).
√
√
25. Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge an = 4 n + 1 − 4 n und geben Sie für jedes ε > 0
ein N ∈ N an, sodass |an − a| < ε.
√
26. (a) Sei a > 1. Geben Sie für jedes ε > 0 ein N ∈ N an, sodass | n a − 1| < ε. Bitte keine
Logarithmen verwenden. Bernoulli!
√
(b) Sei a > 0. Bestimmen Sie limn→∞ n a.
27. Man untersuche die folgenden rekursiv definierten Folgen (xn ) auf Konvergenz und berechne
gegebenenfalls ihre Grenzwerte.
(a) xn+1 = x2n + 41 für n ≥ 0 und x0 = 0.
1
(b) xn+1 = 2+x
für n ≥ 0 und x0 = 0.
n
(c) xn+1 = 12 (xn +
p
xn )
für n ≥ 1, x1 ≥ 0 und ein festes p ≥ 0.
28. Seien a, b ∈ R. Man untersuche, ob die Folge (an ) mit a0 = a, a1 = b, an = 21 (an−1 + an−2 )
für n ≥ 2 konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
29. Zeigen Sie, dass die Folge
n
1
1+
n
streng monoton wachsend ist.
30. Man bestimme die Häufungspunkte der nachstehenden Folgen (xn )n∈N :
n(n+1)
(a) xn = 12 (−1)n + 13 (−1) 2
(b) xn+1 = (−1)n+1 (xn + (−1)n ) für x1 = 1 und n ∈ N.
31. Seien (an ) und (bn ) beschränkte Folgen in R.
(a) Zeigen Sie: lim supn→∞ (an + bn ) ≤ lim supn→∞ an + lim supn→∞ bn .
(b) Zeigen Sie: lim supn→∞ (an + bn ) ≥ lim supn→∞ an + lim inf n→∞ bn .
(c) Geben Sie zwei beschränkte Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N an, sodass
lim sup(an + bn ) 6= lim sup an + lim sup bn
n→∞
n→∞
n→∞
gilt.
(d) Wahr oder falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel): Wenn an ≤ bn für fast alle n gilt, so
gilt lim supn→∞ an ≤ lim supn→∞ bn .
32. Zeigen Sie:
lim
n→∞
1
2
n
+ 2
+ ··· + 2
2
n +1 n +2
n +n
=
1
.
2
Hinweis. Schätzen Sie den Klammer-Ausdruck geeignet nach oben und unten ab und zeigen Sie von
den beiden neuen Folgen, dass sie den Grenzwert 1/2 besitzen!
33. Sei (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen Sie:
(a) Wenn limn→∞ an = a für ein gewisses a ∈ R, dann gilt
√
lim n a1 a2 . . . an = a.
n→∞
(b) Wenn
an+1
an
konvergent ist, dann gilt
lim
n→∞
(c) limn→∞
√
n
n = 1.
√
n
an+1
.
n→∞ an
an = lim