2. Klausur WS 96/97

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler/innen
Teilklausur Mathematik I (Analysis)
2. Klausur
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WS 96/97
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, sofern diese existieren
3x2 − 30x + 75
.
x→5 7x2 − 70x + 175
a) lim
ln(1 + x) − e2x+1
.
x→0
(x − 1)2
b) lim
1 − cos x
.
x→0
x2
c) lim
2.1
2.2
Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion f : R3 → R mit
q
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 − x23 + x22 ln(x3 ) − ex1 x2
Gegeben ist die Funktion
Zx
F (x) =
(t − 2)(t − 1)
dt mit x ∈ [1, ∞[ .
t
1
2
Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extremwerte und Wendepunkte von F (x) .
3.1
Bestimmen Sie mittels partieller Integration
Z 2
x7 ln(x) dx
1
3.2
3.3
Bestimmen Sie den Grenzwert
Z 3
1
√
lim
dx
a&2 a
x−2
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R+ → R, f (x) =
ex
.
1 − ex
4.1 Zwei Produzenten A1 und A2 bieten je ein Gut an. Zwischen den Absatzvariablen x1 , x2
und den Preisvariablen p1 , p2 gelten die Beziehungen
x1 = 100 − 2p1 − p2 ,
x2 = 120 − p1 − 3p2 .
Die Kosten sind gegeben durch
c1 (x1 ) = 120 + 2x1 ,
c2 (x2 ) = 120 + 2x2 .
a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktionen g1 (p1 , p2 ) = p1 x1 − c1 (x1 ) und g2 (p1 , p2 ) = p2 x2 − c2 (x2 ),
beider Produzenten sowie die gemeinsame Gewinnfunktion g = g1 + g2 , jeweils in Abhängigkeit
von p1 , p2 .
b) Wie sind die Preise zu wählen, daß der gemeinsame Gewinn g maximal wird? Geben Sie den
maximalen Gewinn an.
c) Nach einem Streit setzt Produzent A2 den Preis p2 = 16. Wie hat dann A1 den Preis p1 zu
wählen, damit g1 maximal wird?
d) Ist es für die Käufer des von A1 angebotenen Gutes von Vorteil, wenn der Konflikt zwischen A1
und A2 beigelegt wird?
4.2
Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes die stationären Stellen der Funktion
(
R3 ⊃ D −→ R
f:
x 7→ y = f (x) = x1 x2 + 3x22 − 4x2 x3
unter den Nebenbedingungen
x1 + 2x3 = 0
x2 + x3 = 5
Welches sind die möglichen (bedingten) Extremwerte von f ?
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