5. ¨Ubung zur ” Angewandten Funktionalanalysis“

INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
M. Dobrowolski
Würzburg, den 25.5.2017
5. Übung zur Angewandten Funktionalanalysis“
”
5.1 (3) Sei (xk ) eine Folge in C([a, b]) mit xk (t) → x(t) punktweise in [a, b]. Beweisen Sie für die Funktion x die folgenden Aussagen.
a) Zu jedem abgeschlossenen Intervall I ⊂ [a, b] mit nichtleerem Innerem und jedem
ε > 0 gibt es ein nichtleeres offenes Intervall I˜ ⊂ I mit |x(t1 ) − x(t2 )| ≤ ε für alle
˜
t1 , t2 ∈ I.
Hinweis: Setze
ε
Ak = {t ∈ I : |xk (t) − xl (t)| ≤
∀l ≥ k}.
3
b) (Baire) Die Menge der Stetigkeitspunkte von x liegt dicht in [a,b].
5.2 (2) Geben Sie zwei abgeschlossene nirgends dichte Unterräume U, V von (C[−1, 1], k·
k∞ ) an, so daß U + V = C[−1, 1].
5.3 (3) Sei (ai ) eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft
∞
X
ai bi < ∞ für alle reellen Folgen (bi ) mit bi → 0.
i=1
P∞
Dann gilt i=1 |ai | < ∞.
Hinweis: Dies läßt sich sowohl elementar als auch elegant mit einem funktionalanalytischen Prinzip beweisen.
5.4 (2) Der Vektorraum X sei vollständig bezüglich der Normen k · k1 und k · k2 .
Gilt dann kxk1 ≤ ckxk2 für alle x ∈ X, so sind die beiden Normen äquivalent, es
gilt also auch kxk2 ≤ ckxk1 für alle x ∈ X.
5.5 (3) Sei Sl : l∞ → l∞ der Shift nach links im Raum der beschränkten Folgen
′
l∞ . Konstruieren Sie ein f ∈ l∞
mit den Eigenschaften
f (Sl x) = f (x) für alle x ∈ l∞ ,
lim inf x(i) ≤ f (x) ≤ lim sup x(i) für alle x ∈ l∞ .
i→∞
i→∞
Hinweis und Bemerkung: Definiere
fk (x) =
1
(x(1) + . . . + x(k)),
k
M = {x ∈ l∞ : lim fk (x) =: f (x) existiert},
k→∞
p(x) = lim sup fk (x),
k→∞
und wende Hahn-Banach an.
Ein solches Funktional f , das manche Eigenschaften eines echten Grenzwerts
besitzt, heißt Banachlimes.