Beweis des Hauptsatzes der Statistik Sei Dn := sup |F X (x) − FX(x

Beweis des Hauptsatzes der Statistik
(n)
Sei Dn := sup |FX (x) − FX (x)|.
x
Für beliebige natürl. Zahlen N ≥ 1 sei xN,k ; k = 1, 2, . . . , N − 1; die kleinste Zahl x ∈ R1
mit
FX (x) ≤
k
N
≤ FX (x + 0)
(Skizze für N = 3 s. Vorlesung)
Damit: R1 = (xN,0 , xN,1 ] ∪ (xN,1 , xN,2 ] ∪ · · · ∪ (xN,N −1 , xN,N )
↑
↑
= −∞
= +∞
Die Isotonie von Vert.fktn. führt ∀x ∈ (xN,k , xN,k+1 ]; k = 0, 1, . . . , N ; zu
(n)
(n)
(n)
FX (xN,k + 0) ≤ FX (x) ≤ FX (xN,k+1 )
−FX (xN,k+1 ) ≤ −FX (x) ≤ −FX (xN,k + 0)
————————————————————–
(n)
(n)
(n)
FX (xN,k + 0) − FX (xN,k+1 ) ≤ FX (x) − FX (x) ≤ FX (xN,k+1 ) − FX (xN,k + 0) (∗)
Außerdem ist wegen FX (xN,k+1 ) ≤
k+1
N
0 ≤ FX (xN,k+1 ) − FX (xN,k + 0) ≤
und
k
N
≤ FX (xN,k + 0)
³ ´
∗
∗
1
N
Damit gilt:
³ ´
∗
∗
(n)
FX (xN,k
+ 0) − FX (xN,k + 0) −
1
N
↓
(n)
≤ FX (xN,k + 0) − FX (xN,k+1 )
³ ´
∗
(∗)
∗
↓
↓
(n)
(n)
(n)
≤ FX (x) − FX (x) ≤ FX (xN,k+1 ) − FX (xN,k + 0 ≤ FX (xN,k+1 ) − FX (xN,k+1 ) +
D.h. ∀k:
sup
x∈(xN,k ,xN,k+1 ]
≤
1
N
(n)
|FX (x) − FX (x)| ≤
(n)
(n)
+ max{|FX (xN,k+1 ) − FX (xN,k+1 )|, |FX (xN,k + 0) − FX (xN,k + 0)|}
|
n→∞
{z
}
−→ 0 nach (1.13)
z
=: AN
}|
{
1 ´
= 1; A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ AN ⊇ · · ·
d.h. ∀N : P lim Dn ≤
n→∞
N
³
P ( lim Dn = 0) = P
n→∞
³ ∞
T
N =1
´
AN = P ( lim AN ) = lim P (AN ) = 1
N →∞
N →∞
↑
Stetigkeit von P
1
N