Prof. Dr. Uwe Jannsen 30. April 2007 Felix

Prof. Dr. Uwe Jannsen
Felix Schnellinger
30. April 2007
Übungen zur Algebra II
3. Blatt, Abgabe am Dienstag, 08.05. um 10.15 Uhr
7. Sei R ein kommutativer unitärer Ring und a ein Ideal. Die a-adische Topologie
auf A ist erklärt dadurch, dass für jedes r ∈ R die Teilmengen r + an , n ∈ N eine
Umgebungsbasis bilden.
(i) Zeigen Sie, dass man so in der Tat eine Topologie erhält.
P
(ii) Zeigen Sie: Die Menge â := aR̂ = { ni=1 ai ti |n ∈ N, ai ∈ a, ti ∈ R̂} ist ein Ideal
in R̂ = lim
R/an .
←−
(iii) Zeigen Sie: Die kanonische Abbildung R̂ → R/am induziert einen Isomorphis∼
mus R̂/âm → R/am .
8. Sei I eine filtrierend geordnete Menge, und seien Ai , Bi und Ci induktive Systeme
von abelschen Gruppen. Weiter sei für jedes i ∈ I eine Sequenz von abelschen
Gruppen
Ai → Bi → Ci
(∗)
gegeben, die verträglich mit den Übergangsabbildungen ist, d.h. für i ≤ j ist das
Diagramm
Ai ........................................................ Bi ........................................................ Ci
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
Aj ........................................................ Bj ........................................................ Cj
kommutativ (dies ist ein induktives System von Sequenzen). Zeigen Sie: Ist die
Sequenz (∗) für alle i ∈ I exakt, dann ist auch die Limessequenz
lim
Ai → lim
Bi → lim
Ci
−→
−→
−→
exakt.