Blatt 6

Wintersemester 2016/17
Blatt 6
22.11.16
Mathematisches Institut
der Universität München
Prof. Dr. Detlef Dürr
Übungen zur Stochastik
Für die empirische Verteilung von Kopf und Zahl in einer durch Rademacherfunktionen rk modellierten
Münzwurfreihe ist
n
n
1X
1X
(n)
ρemp ({1}, x) :=
1{1} (rk (x)) =
rk (x) ,
n
n
k=1
mit der Abkürzung rn (x) := rn (x) −
1
2
k=1
also
n
ρ(n)
emp ({1}, x) −
1
1X
rk (x) .
=
2
n
k=1
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass
(
∀ > 0 : λ
n
)!
1 X
1
x:
rk (x) > < 2
n
4 n
n groß
≈ 0
k=1
gilt. Gemäß dem Wörterbuch besagt dies: Typischerweise zeigt eine Münzwurffolge der Länge n eine
relative Häufigkeit von 21 Kopf. Eine derartige Aussage heißt schwaches“ Gesetz der großen Zahlen.
”
Im Gegensatz dazu ist
n
1X
λ({x : | lim
rk (x)| = 0}) = 1.
n→∞ n
k=1
eine Version des starken“ Gesetzes der großen Zahlen.
”
6.1 Man nennt eine Folge von Vergröberungen (fn )n∈N auf [0, 1] stark konvergent gegen null, wenn
λ({x : lim fn (x) = 0}) = 1
n
ist, und schwach konvergent, wenn
∀ > 0 : lim λ(x : |fn (x)| < ) = 1
n
gilt. Starke Konvergenz impliziert schwache und ein Schritt im Beweis ist folgende Gleichheit,
die Sie zeigen sollen:
∞ \
∞
[
l=1 n=l
{x : |
n
n
k=1
k=1
1X
1X
rk (x)| < } = {x : lim |
rk (x)| < }
n→∞ n
n
Geben Sie zunächst in Worten an, welche Elemente die Menge auf der linken Seite des =“ hat!
”
6.2 Die umgekehrte Richtung gilt nicht. Zeigen Sie dies anhand der auf [0, 1] definierten Vergröberungen Xn : [0, 1] → {0, 1} mit
Xn := 1[i/2m ,(i+1)/2m ] ,
n = 2m + i,
m ∈ N0 ,
i ∈ {0, 1, . . . , 2m } !
6.3 Arbeiten Sie folgenden Teilschritt des Beweises des starken Gesetzes der großen Zahlen aus:
Z 1X
l
n
1X
∃C < ∞ ∀l ∈ N :
|
rk (x)|4 dx < C
n
0
n=1
k=1