9. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
9. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Freitag, 8. Mai 2009, 13.00
Aufgabe 36 Xi , i ∈ N, seien unabhängige identisch verteilte Zufallsgrössen mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Sei
Pn
Xi
ξn := √ i=1
, n ≥ 3.
2n log log n
Zeigen Sie mit Hilfe des Hartmann-Wintner Gesetzes, dass für fast alle ω die Folge
{ξn (ω)} alle Punkte des Intervalls [−1, 1] als Häufungspunkte hat.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass eine Folge reeller Zahlen {xn } mit
lim sup xn = 1, lim inf xn = −1,
n→∞
n→∞
lim |xn+1 − xn | = 0,
n→∞
jeden Punkt in [−1, 1] als Häufungspunkt hat. Zeigen Sie anschliessend, dass limn→∞ |ξn+1 − ξn | =
0 f.s. gilt.
Aufgabe 37 Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung P (X, Y )−1R eine Dichte f
bezüglich des Lebesgue-Masses λ2 besitzt. Ferner bezeichne fX (x) := R f (x, y)λ(dy)
die Randdichte von X. Zeigen Sie für alle B ∈ B, dass die Funktion
( R
f (x,y)
B fX (x) λ(dy) falls fX (x) ∈ (0, ∞)
gB (x) :=
0
sonst
eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit von {Y ∈ B} gegeben X ist.
Aufgabe 38 Es seien (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, A eine Teil-σ-Algebra von
F und X ∈ L2 (Ω, F, P ) eine Zufallsgrösse. Auf H := { Y ∈ L2 (Ω, F, P ) | Y ist Amessbar } sei die Abbildung f durch f (Y ) := E((X − Y )2 )1/2 definiert. Zeigen Sie
f (Y ) ist minimal
⇔
Y = E(X | A) P -fast sicher.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst E ([X − E(X | A)] + [E(X | A) − Y ])2 .
Bitte wenden.
R
Aufgabe 39 Es seien P ein Wahrscheinlichkeitsmass auf ( , B) mit einer Dichte f
bezüglich des Lebesgue-Masses und Y ∈ L1 ( , B, P ) eine Zufallsgrösse. Es sei C ⊂ B die
σ-Algebra der zum Nullpunkt symmetrischen Borelmengen, das heisst
R
C = { C ∈ B | Es existiert D ∈ B([0, ∞)) mit C = D ∪ (−D). },
wobei B([0, ∞)) = { B ∩ [0, ∞) | B ∈ B } die Borelmengen des Intervalls [0, ∞) und
−D = { x ∈ | −x ∈ D } die am Nullpunkt gespiegelte Menge D bezeichnen.
R
(a) Zeigen Sie, dass Z mit
( Y (x)f (x)+Y (−x)f (−x)
Z(x) :=
f (x)+f (−x)
0
falls f (x) + f (−x) > 0,
sonst
eine Version des bedingten Erwartungswerts E(Y | C) ist.
(b) Bestimmen Sie P ([1, 3] | C) im Fall, dass die Dichte f eine gerade Funktion ist.