Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2013
Blatt 4
Abgabetermin: 13.05.2013
Aufgabe 12
(2+3=5 Punkte)
Eine Teilmenge A ⊆ R heißt dicht in R, falls:
∀b ∈ R ∀ε > 0 ∶ A ∩ [b, b + ε] =/ ∅
(“Jedes (noch so kleine) Intervall enthält Elemente von A.“)
(a) Zeigen Sie, dass Q dicht in R ist.
Hinweis: Wählen Sie zu gegebenem ε > 0 ein n ∈ N mit n ⋅ ε ≥ 1 und betrachten Sie die Punkte
der Form nk mit k ∈ Z.
(b) Zeigen Sie, dass Qc = R ∖ Q dicht in R ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für x ∈ R ∖ Q und q ∈ Q stets x + q ∈ R ∖ Q gilt. Betrachten
√
Sie dann die Punkte der Form 2 + nk mit n ∈ N wie in (a) und k ∈ Z.
Aufgabe 13
(2+4=6 Punkte)
(a) Berechnen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen (an )n∈N mit Hilfe des Satzes
über das Rechnen mit konvergenten Folgen:
(
n2
)
n2 + 2n + 1 n∈N
(
n5 − 4n2 + 3n − 2
)
−2n5 + n3 − 6n2 + 2n − 3 n∈N
(b) Zeigen Sie die Konvergenz der angegebenen Folgen mit Hilfe des Satzes über das
Rechnen mit konvergenten Folgen und des Sandwich-Kriteriums:
√
⎛ n ⋅ (n − 1) ⎞
2 + 3 ⋅ cos(n)
(2n ) + (−2)n
sin2 (n)
(
)
(
)
(
)
n+1
n
3n
2n + 1 + cos(n) n∈N
⎠
⎝
n∈N
n∈N
n∈N
Aufgabe 14
(3+2=5 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a, b ∈ R die folgenden Ungleichungen gelten:
(1) ∣a + b∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣
(2) ∣a − b∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣
(3) ∣∣a∣ − ∣b∣∣ ≤ ∣a − b∣
Hinweis: (1) kann man mit Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von a und b zeigen. (2)
und (3) kann man aus (1) folgern, wobei bei (3) erneut eine Fallunterscheidung hilfreich ist.
(b) Zeigen Sie für alle Folgen (an )n∈N und alle Zahlen a ∈ R die Implikation
lim an = a
n→∞
⇒
lim ∣an ∣ = ∣a∣
n→∞
Gilt auch die umgekehrte Implikation “⇐“ ? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Aufgabe 15
(3+2=5 Punkte)
(a) Sei (an )n∈N eine Folge in R mit an ≥ 0 und lim an = a ∈ [0, ∞). Zeigen Sie mit der
√n→∞
√
ε-n0 -Definition, dass dann auch lim an = a gilt.
√n→∞ √
Hinweis: Im Fall a > 0 kann man ∣ an − a∣ geschickt erweitern, vereinfachen und dann nach
oben abschätzen. Der Fall a = 0 ist einfacher.
√
√
(b) Zeigen Sie, dass die Folge ( n + 5 − n)n∈N eine Nullfolge ist.
Hinweis: Man kann zunächst geschickt erweitern, dann vereinfachen und schließlich das
Sandwich-Kriterium und Teil (a) anwenden.
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose13