Ubungsblatt 3 - Universität Basel

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung I
5.10.2012
Übungsblatt 3
Abgabe: Am Freitag den 12.10. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Aufgabe 1. Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N seien gegeben durch
(3 − n)3
1 + (−1)n n2
für n ∈ N.
und bn =
3
3n − 1
2 + 3n + n2
Entscheide für beide Folgen, welche der drei Eigenschaften “beschränkt”, “konvergent” bzw. “divergent” vorliegt, und bestimme im Fall der Konvergenz den Grenzwert.
√
Aufgabe 2. Sei an = n für n ∈ N. Zeige, dass für jedes ε > 0 ein N ∈ N
existiert, so dass
|an+1 − an | < ε für alle n ≥ N .
Zeige zudem, dass (an )n∈N dennoch keine Cauchy-Folge ist.
an =
Aufgabe 3. Die Folge (an )n∈N sei gegeben durch
n
X
k2
an =
n4 − 10k 2
k=1
Zeige, dass limn→∞ an = 0 gilt.
Pn
1
2
Hinweise: Zeige zunächst die Abschätzung |an | ≤ n4 −10n
2(
k=1 k ) für n ≥ 4.
Benutze anschliessend Aufgabe 2 a) von Blatt 1 und schliesse daraus lim an = 0.
Aufgabe 4. Es seien a, b > 0 positive reelle Zahlen. Beweise die folgenden Aussagen über Grenzwerte:
√
√
n
an + bn = max{a, b}.
a) lim n a = 1, b) lim
n→∞
n→∞
√
√ c) lim
n + 1 − n = 0.
n→∞
√
Hinweis zu a): Betrachte zunächst a ≥ 1 und setze xn := n a − 1 ≥ 0. Aus
der Bernoulli-Ungleichung√folgt a = (1 + xn )n ≥ 1 + nxn . Schliesse daraus, dass
lim xn = 0 und somit lim n a = 1 gilt. Schliesslich diskutiere 0 < a < 1, indem man
das bereits Bewiesene auf a−1 > 1 anwendet und Satz 4 in §4 aus Forster anwendet
(Satz über Quotienten konvergenter Folgen).
*Aufgabe 5. Beweise ohne das Vollständigkeitsaxiom zu benutzen: Ist (an )n∈N
eine Cauchy-Folge, so ist (an )n∈N beschränkt.
*Aufgabe 6. Zeige: Jede Folge in R besitzt eine monotone (steigende oder fallende) Teilfolge.
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