Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 06/07 Dr. R. Brüske ¨Ubungen zur

Prof. Dr. R. Wulkenhaar
Dr. R. Brüske
WS 06/07
Übungen zur Mathematik für Physiker III
Abgabe: Donnerstag, 01.02.07, bis 17h00 in den Briefkästen
Aufgabe 1. Für t ∈ R sei
Blatt 13
Z
2 /2
g(t) =
R
dx e−x
e−ixt .
Zeige:
√
(a) g(0) = 2π
(b) g 0 (t) = −t g(t)
√
2
(c) g(t) = 2πe−t /2
½
Aufgabe 2. Sei n ∈ N, x > 0, fn (t) :=
tx−1 (1 − nt )n 0 < t ≤ n
.
0
t>n
Zeige:
Z
Z
∞
Γ(x) =
dt t
x−1 −t
e
n
= lim
n→∞
0
nx n!
.
n→∞ x(x + 1) · . . . · (x + n)
dt fn (t) = lim
0
Z
1
Aufgabe 3. Für positive relle Zahlen x, y ∈ R>0 ist durch B(x, y) :=
0
die Beta-Funktion erklärt. Zeige:
(a) Γ(x)Γ(y) = Γ(x + y)B(x,
y)Z
Z
∞
Hinweis: Verwende
π/2
(b)
0
∞
du
0
Z
dt cosu t sinv t =
dt (1 − t)x−1 ty−1
0
u
, u + t).
dt tx−1 uy−1 e−(t+u) und (s, v) 7→ ( u+t
)Γ( v+1
)
1 Γ( u+1
2
2
u+v
2 Γ( 2 + 1)
√
Γ(x)
π
= 2x−1
(c)
Γ(2x)
2
Γ(x + 21 )
Aufgabe 4. Berechne das Trägheitsmoment bzgl. der x-Achse von
¾
½
³ x ´2 ³ y ´2 ³ z ´2
3
+
+
≤1
(für a, b, c > 0) .
E = (x, y, z) ∈ R :
a
b
c
Der Körper habe dabei konstante Dichte µ > 0.
1