1. ¨Ubungsblatt zur Geometrie/Topologie

Prof. Dr. V. Schroeder
Herbstsemester 2010
1. Übungsblatt zur Geometrie/Topologie
Abgabe: Donnerstag, den 30. September 2010 bis 12 Uhr in die Postfächer.
Allgemeine Informationen
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Montag
Dienstag
Dienstag
13 - 15 Uhr H28 Anna Mätzener
10 - 12 Uhr H12 Brett Parker
(Übung auf Englisch)
13 - 15 Uhr H28 Steffen Weil
(ab 5. Oktober)
Studierende der Gruppe 3 können am 28. oder 29. September an einer der anderen beiden Übungsstunden teilnehmen und geben die Lösungen zu diesem ersten Übungsblatt
(ausnahmsweise) auch an Anna Mätzener ab.
Bitte auf den Lösungen die Übungsgruppe vermerken!
Aufgabe 1
Es seien S n−1 und Dn folgende mit ihrer vom Euklidschen Raum En = (Rn , de ) induzierten
Metrik versehenen Teilmengen des Rn :
S n−1 := {x ∈ Rn | ||x|| = 1} ⊂ Rn
und
Dn := {x ∈ Rn | ||x|| < 1} ⊂ Rn .
Bezeichne weiter N := (0, ..., 0, 1) ∈ S n ⊂ Rn+1 den Nordpol von S n .
Zeige, dass S n \ {N }, Rn und Dn paarweise homöomorph zueinander sind.
Aufgabe 2
Sei X eine Menge, seien d, d¯ : X × X −→ R+
0 Metriken auf X und seien O bzw. Ō die
¯
von d bzw. d induzierten Topologien.
Zeige, dass O = Ō genau dann gilt, wenn für alle Folgen {xn }n∈N in X und alle x ∈ X
gilt, dass
¯ n , x) = 0.
lim d(xn , x) = 0
⇐⇒
lim d(x
n→∞
n→∞
Aufgabe 3
Betrachte Rn versehen mit der Standardtopologie O bezüglich der euklidschen Metrik de .
Zeige, dass B := {U(q, r)|q ∈ Qn , r ∈ Q, r > 0} eine Basis von O ist.
Aufgabe 4
1. Betrachte X := R versehen mit der Zariski-Topologie. Welche der folgenden Abbildungen sind stetig?
(a) id : X → X, x 7→ x.
(b) f : X → X, x 7→ 2x3 + x2 − 2.
(c) g : X → X, x 7→ exp(x).
(d) h : X → X, x 7→ cos(x).
2. Löse dieselbe Aufgabe für X := C.