Einführung in die Topologie

Zürich, 21.02.2008
Universität Zürich
Thomas Foertsch
Anna Mätzener
Johannes Meyer
1. Übung zur
Einführung in die Topologie
Aufgabe 1 Es seien S n−1 und B n folgende mit ihrer vom Euklidschen
Raum En = (Rn , de ) induzierten Metrik versehenen Teilmengen des Rn :
S n−1 := {x ∈ Rn | ||x|| = 1} ⊂ Rn
und
B n := {x ∈ Rn | ||x|| < 1} ⊂ Rn .
Bezeichne weiter N := (0, ..., 0, 1) ∈ S n ⊂ Rn+1 den Nordpol von S n .
Zeigen Sie, dass S n \ {N }, Rn und B n paarweise homöomorph zueinander
sind.
3 Punkte
Aufgabe 2 Sei f : (X, TX ) −→ (Y, TY ) eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeigen Sie, dass die Stetigkeit von f zu jeder der folgenden
Aussagen äquivalent ist.
(a) Urbilder beliebiger abgeschlossener Mengen in (Y, TY ) unter f sind abgeschlossene Mengen in (X, TX ).
(b) Sei x ∈ X beliebig und U eine Umgebung von f (x) in (Y, TY ), dann ist
f −1 (U ) eine Umgebung von x in (X, TX ).
(c) Für alle M ∈ P(Y ) gilt f −1 (M ) ⊂ f −1 (M ).
4 Punkte
1
Aufgabe 3 Sei X eine Menge, seien d, d¯ : X × X −→ R+
0 Metriken auf X
und seien T bzw. T̄ die von d bzw. d¯ induzierten Topologien.
Zeigen Sie, dass T = T̄ genau dann gilt, wenn für alle Folgen {xn }n∈N in
X und alle x ∈ X gilt, dass
lim d(xn , x) = 0
n→∞
¯ n , x) = 0.
lim d(x
⇐⇒
n→∞
3 Punkte
2
Aufgabe
P∞4 Es2 bezeichne l die Menge X aller Folgen reeller Zahlen {xn }n∈N
für die n=1 xn konvergiert, versehen mit der Abbildung d : X × X −→ R+
0,
v
u∞
uX
d {xn }n , {yn }n := t
(xn − yn )2 .
n=1
Zeigen Sie, dass l2 = (X, d) ein metrischer Raum ist, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Hinweis: Um zu zeigen, dass durch d eine Metrik auf X gegeben ist, zeigen
Sie am besten, dass diese Metrik von einer Norm induziert wird, deren
Normeigenschaften Sie leicht mit der Minkowskischen Ungleichung
v
v
v
uX
uX
uX
u n
u n
u n
2
2
t
|aj + bj | ≤ t
|aj | + t
|bj |2
j=1
j=1
j=1
für aj , bj ∈ R, j = 1, ..., n, nachweisen können.
4 Punkte
Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die 2-dimensionalen normierten Vektorräume
(R2 , || · ||s ) und (R2 , || · ||m ) zueinander isometrisch sind. Hier bezeichnen
2
|| · ||s , || · ||m : R2 −→ R+
0 die in der Standardbasis des R durch
||(x, y)||s := |x| + |y|
||(x, y)||m := max{|x|, |y|}
bzw.
definierten Normen auf R2 .
2 Punkte
Abgabe: Donnerstag, den 28. Februar - vor der Vorlesung.
2