2. ¨Ubungsblatt zur Funktionalanalysis - Ruhr

2. Übungsblatt zur Funktionalanalysis
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak SoSe 2015
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Sei X ein Vektorraum über R. Für jedes n ∈ N sei eine Funktion pn : X → R mit folgenden
Eigenschaften gegeben:
(i) pn (x) ≥ 0 für alle x ∈ X und zu jedem x 6= 0 existiert ein n ∈ N mit pn (x) 6= 0,
(ii) pn (x + y) ≤ pn (x) + pn (y) für alle x, y ∈ X,
(iii) pn (λx) = |λ|pn (x) für alle λ ∈ R und x ∈ X.
Zeigen Sie, dass
d(x, y) =
X 1 pn (x − y)
2n 1 + pn (x − y)
n∈N
eine Metrik definert.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie: Sei X eine beliebige Menge und F ⊂ P(X), dann existiert eine gröbste
Topologie auf X, die F enthält.
b) Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Sei X eine Menge, (Y, dY ) ein metrischer Raum und B(X, Y ) die Menge der beschränkten Funktionen von X nach Y , wobei eine Funktion f : X −→ Y beschränkt heißt, falls für ein beliebiges
y0 ∈ Y gilt: supx∈X dY (f (x), y0 ) < ∞. Sei B(X, Y ) zudem mit der Metrik
d(f, g) := sup dY (f (x), g(x))
x∈X
versehen.
a) Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf B(X, Y ) definiert.
b) Beweisen Sie: (Y, dY ) ist genau dann vollständig, wenn (B(X, Y ), d) vollständig ist.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Zwei Metriken auf einer Menge X heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie induzieren. Für
eine beliebige Metrik d auf X bezeichne Ud (x, δ) := {y ∈ X : d(x, y) < δ}, δ > 0.
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a) Zeigen Sie, dass für zwei Metriken d, d0 auf X folgende Eigenschaften äquivalent sind:
(i) d und d0 sind äquivalent.
(ii) Für alle x ∈ X und alle ε > 0 existieren δ, δ 0 > 0, so dass
Ud (x, δ) ⊂ Ud0 (x, ε), Ud0 (x, δ 0 ) ⊂ Ud (x, ε).
(iii) Eine Folge (xn )n∈N konvergiert in (X, d) genau dann, wenn sie in (X, d0 ) konvergiert.
b) Zeigen Sie, dass die Metriken d,
d0 := min(d, 1)
und d00 :=
d
1+d
auf X äquivalent sind.
Abgabetermin: Donnerstag, 23. April 2015 vor Beginn der Vorlesung.
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