Folgende Aussagen sind äquivalent in R : Vollständigkeit: In R

Folgende Aussagen sind äquivalent in R :
Vollständigkeit: In R konvergiert jede CauchyFolge.
Existenz des Supremums: Jede nichtleere,
nach oben beschränkte Teilmenge D ⊂ R besitzt ein Supremum.
Intervallschachtelungsprinzip: Sei
I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ · · ·
eine absteigende Folge von abgeschlossenen
Intervallen In := [an, bn] in R mit
lim diam (In) := lim (bn − an) = 0 .
n→∞
n→∞
Dann gibt es genau ein x ∈ R
mit x ∈ In für alle n ∈ N.
Eine dieser Aussagen muß als Axiom für die reellen Zahlen vorausgesetzt werden. In der Vorlesung haben wir die Vollständigkeitseigenschaft
als Axiom ausgewählt.