¨UBERBLICK UND ¨UBUNGSSERIE 2 Aufgabe 2.1. Sei a > 0 eine

ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 2
ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Aufgabe 2.1. Sei a > 0 eine positive reelle Zahl. Beweisen Sie, dass zu jedem ε > 0 ein n ∈ N existiert, so dass
√
| n a − 1| ≤ ε .
Hinweise: Betrachten Sie zunächst a ≥ 1 und setzen Sie xn =
√
n
a − 1. Benutzen Sie die Bernoullische Ungleichung.
Diese Woche haben wir zu allererst den Absolutbetrag einer reellen Zahl eingeführt und die Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|
bewiesen.
Aufgabe 2.2. Beweisen Sie, dass für x, y ∈ R gilt
|x| + |y| + |x| − |y| = |x − y| + |x + y| .
Danach haben wir den Begriff der Intervallschachtelung kennengelernt. Dies ist eine Folge (In ) kompakter
Intervalle, so dass:
• In+1 ⊂ In für alle n ∈ N,
• zu jedem ε > 0 gibt es n ∈ N mit |In | < ε.
? Aufgabe 2.3.
(a) Beweisen Sie, dass
1
1
1
1
− , 2+
,
In =
n2
n n
n
n ≥ 2,
eine Intervallschachtelung ist.
(b) Beweisen Sie, dass
In =
x ∈ R : |x2 − 2| ≤
1
, x>0
n
eine Intervallschachtelung ist, und finden Sie die Zahl y ∈ R, so dass y ∈ In für alle n ∈ N.
1
2
ANALYSIS I HS14 – SERIE 2
(c) Beweisen Sie, dass
1 √
1
n
In = − , 2 + √
n
n
keine Intervallschachtelung ist. Hinweise: Benutzen Sie das Resultat von Aufgabe 2.1.
Das Vollständigkeitsaxiom (der reellen Zahlen) besagt, dass es zu jeder Intervallschachtelung eine reelle
Zahl gibt, die zu allen Intervallen gehört.
Mit dem Vollständigkeitsaxiom haben wir die Existenz der k-ten Wurzel einer positiven reellen Zahl bewiesen.
Danach haben wir das Supremum (die kleinste obere Schranke) und das Infimum (die grösste untere
Schranke) definiert. Wir haben die Existenz des Supremums (bzw. des Infimums) einer nach oben (bzw. nach
unten) beschränkten nicht-leeren Menge bewiesen. Am Schluss haben wir gemerkt, dass die Existenz des
Supremums (bzw. des Infimums) äquivalent ist zum Vollständigkeitsaxiom.
Aufgabe 2.4.
(a) Finden Sie (falls existent) das Infimum und das Supremum der Menge
M1 = x ∈ R : x3 − x2 − 2x + 2 ≥ 0 .
Sind diese Werte auch Minimum bzw. Maximum der Menge?
(b) Finden Sie (falls existent) das Infimum und das Supremum der Menge
M2 = x ∈ Q : x3 − x2 − 2x + 2 < 0 .
Sind diese Werte auch Minimum bzw. Maximum der Menge?
? Aufgabe 2.5. Sei (An )n∈N eine Familie von Mengen mit An ⊂ R und sei A =
S
n∈N
An . Nehmen Sie an, dass A
beschränkt ist. Seien sn = sup An und s = sup A. Zeigen Sie, dass
s = sup sn : n ∈ N .
Gilt eine analoge Beziehung, falls nicht die Vereinigung sondern der Durchschnitt betrachtet wird?
Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben
sind für das Ergänzungsprogramm gedacht.
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Abgabe: bis Freitag 03.10. um 12:00 Uhr