Serie 4

ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 4
ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Eine Folge (komplexer Zahlen) ist eine Funktion f : N → C. Normalerweise benutzen wir
die Bezeichnung (an )n∈N für eine Folge. Eine Folge (an )n∈N konvergiert gegen a ∈ C falls
∀ε > 0 ∃N ∈ N
|an − a| < ε ∀n > N .
so dass
a ist der Limes (oder der Grenzwert) der Folge und ist eindeutig bestimmt (falls existent).
Achten Sie auf die Reihenfolge der Quantoren:
Aufgabe 4.1. Für welche Folgen (an )n∈N gilt die Bedingung
∃N ∈ N ∀ε > 0
|an − a| < ε ∀n > N
so dass
?
Wir haben die Grenzwerte einiger wichtiger Folgen berechnet und mehrere Rechenregeln
bewiesen. Bezüglich “Ungleichungen” haben wir bewiesen, dass
an → a , b n → b , a n ≤ b n
⇒
a ≤ b.
Beweisen Sie das zweite Korollar dieser Eigenschaft:
Aufgabe 4.2. Nehmen wir an, dass An ≤ an ≤ Bn für fast alle n ∈ N, und dass An → A und
Bn → A. Dann konvergiert die Folge (an )n∈N gegen A.
Schliesslich haben wir die asymptotische Gleichheit definiert: an
limn→∞ an /bn = 1. Beweisen Sie folgende Bemerkung:
? Aufgabe 4.3. Falls an ' bn , dann gilt
(an ) konvergiert
⇐⇒
1
(bn ) konvergiert.
'
bn falls
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ANALYSIS I HS14 – SERIE 4
Ist lim an = lim bn in obiger Äquivalenz notwendig?
Übung macht den Meister!
Aufgabe 4.4. Berechnen Sie (falls existent) den Grenzwert folgender Folgen:
√
√
n
n
2n − 3 n
(a) √ ,
(b) n √
,
(c) (1 + i)n ,
3
n
2 + n
(d)
(3 − n)3
,
3n3 − 1
(e)
1 + (−1)n n2
,
2 + 3n + n2
1
.
(f) √
3
n
2 + 3n
? Aufgabe 4.5. Berechnen Sie (falls existent) den Grenzwert folgender Folgen:
p
1 n
3n + 5n − 7
n
√
(a) n
,
(c)
|P (n)| , mit P ein Polynom ,
,
(b) n
2 k
2 + n9 + 3 n
√
1 + 2 + ... + n
(d)
,
(e)
n2 + n − n .
n2 + 1
Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben
sind für das Ergänzungsprogramm gedacht.
Webseite: http://www.math.unibas.ch/crippa
Email: [email protected]
Abgabe: bis Freitag 17.10. um 12:00 Uhr