5. Übungsblatt (v3)

M∪Φ
X
Lehrstuhl
Übungen zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker I
Wintersemester 2016/2017
Prof. Dr. Knut Hüper, Thorsten Reichert
Aufgabenblatt Nr. 5
14.11.2016
(?? Punkte. Abzugeben bis 21.11.2016 um 12:00 Uhr)
Hausaufgaben
Aufgabe 5-1: Lösungen von Rekursionsgleichungen
Sei m die letzten zwei Ziffern ihrer Matrikelnummer (für die Matrikelnummer 1234567 wäre m = 67).
Wir betrachten die rekursiv definierte, ganzzahlige Folge (es gilt an ∈ für alle n ≥ 0)
an+1 := 7 · (an − 5)2 mod (m + 42)
a0 := 3.
Z
Schreiben Sie ein Programm, das a500 berechnet. Ihr Programm sollte für m ∈ {67, 68, 69} folgende
Werte berechnen:
m
67
68
69
a500
104
73
40
Hinweis: a mod b bezeichnet den Rest der Ganzzahldivision von a/b. Es gilt also 10 mod 3 = 1 (denn
10/3 = 3 Rest 1). mod entspricht in vielen Programmiersprachen dem Operator %.
Hinweise zur Bearbeitung: Geben Sie für jedes Mitglied Ihrer Arbeitsgruppe (sprich für jeden Namen
auf Ihrer Abgabe) m und a500 an. Drucken Sie außerdem den relevanten Teil des Sourcecodes Ihres
Programms aus und tackern Sie diesen an die Abgabe. Sie können eine sinnvolle Programmiersprache
ihrer Wahl benutzen (kein Brainfuck, Malbolge, Lolcode, etc!)
(3 Punkte)
Aufgabe 5-2: Beschränktheit von Folgen
i) Finden Sie eine beschränkte Folge (an )n∈N die nicht konvergiert.
(2 Punkte)
ii) Zeigen Sie, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen fn
f0 := 0
f1 := 1
fn := fn−1 + fn−2
(3 Punkte)
nicht beschränkt ist.
1
Aufgabe 5-3: Berechnung von Grenzwerten
i) Sei (an )n∈N eine Folge mit 0 ≤ an ≤ 42 für alle n ∈
lim
n−→∞
N. Berechnen Sie
an
.
n
(2 Punkte)
ii) Berechnen Sie
3n3 − 8n2 + 2n + 5
.
n−→∞ (n − 1) · (n2 + 1) · (2 − 2n)
lim
(2 Punkte)
Aufgabe 5-4: Monotonie und Sandwiches
R
√
√
Sei a ∈ mit a ≥ 1. Wir betrachten die Folge an := n a. Hierbei bezeichnet n a die n-te Wurzel von
a, die analog zur “normalen” Wurzel (der 2-ten Wurzel) als
√
r = n a :⇐⇒ (rn = a) ∧ (r > 0).
definiert ist. Es gilt also ann = a für alle Folgenglieder. Wir wollen in dieser Aufgabe zeigen, dass die
Folge (an )n∈N konvergiert und ihren Grenzwert bestimmen.
i) Zeigen Sie, dass an ≥ 1 für alle n ∈
N gilt.
(1 Punkt)
ii) Zeigen Sie, dass (an ) monoton fallend ist.
(1 Punkt)
Mit dem Monotoniekriterium wissen wir nun also, dass (an ) konvergiert. Wir werden als nächstes
zeigen, dass der Grenzwert von (an ) tatsächlich 1 ist. Wir betrachten zunächst den Spezialfall a = 1:
iii) Zeigen Sie, dass limn→∞ an = 1 gilt wenn a = 1 ist.
(1 Punkt)
Für den Rest der Aufgabe können wir uns also auf a > 1 beschränken. Wir beginnen damit, folgende
Abschätzungen zu beweisen:
iv) Zeigen Sie, dass
für alle n ∈
N gilt.
√
√
1
n
a−1<
1+n na−1
n
(1 Punkt)
N
v) Benutzen Sie die Bernoulli-Ungleichung (1 + x)n ≥ 1 + nx für alle x ≥ −1 und n ∈ , um zu
zeigen, dass
1
n
√
√
1
1+n na−1 ≤
1+ na−1
n
n
für alle n ∈ gilt.
(1 Punkt)
N
vi) Zeigen Sie, dass
für alle n ∈
N gilt.
n
√
1
a
1+ na−1
=
n
n
(1 Punkt)
Schließlich haben wir alle Zutaten um den Grenzwert von (an ) zu bestimmen:
2
√
vii) Zeigen Sie, dass aus der Ungleichung n a − 1 < na (iv), v) und vi) kombiniert), der Ungleichung
an ≥ 1 (aus i)) und dem Sandwich-Theorem folgt, dass der Grenzwert von (an ) gleich 1 ist.
(2 Punkte)
Hinweise: Sie können die folgenden intuitiven Rechenregeln ohne Beweis verwenden (Sie benötigen
nicht alle davon, um die Aufgabe zu lösen).
• Für reelle Zahlen r1 , r2 > 1 und z > 0 gilt r1 · z > z und r1 · r2 > 1. Analog gilt für reelle Zahlen
0 ≤ s1 , s2 < 1 stets s1 · z < z und s1 · s2 < 1.
• Für reelle Zahlen r, s ≥ 0 gilt rn > sn genau dann, wenn r > s gilt.
Sie können außerdem in jeder Teilaufgabe alle vorherigen Ergebnisse benutzen (auch wenn Sie die
vorherigen Teilaufgaben nicht lösen konnten).
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