Blatt 3: Mathematik I für Ingenieure (B)

Blatt 3: Mathematik I für Ingenieure (B)
apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch
31.10.2016
Aufgabe 1∗ :
(a) Berechnen Sie den Grenzwert
∞
P
k=1
Hinweis:
1
k(k+1)
=
1
k
−
1
k+1
1
k(k+1)
.
(nachrechnen!); dann Teleskopsumme nutzen.
(b) Verwenden Sie die Teilaufgabe (a), um mit dem Monotonieprinzip die Konvergenz
n
P
1
der Reihe sn :=
(n = 1, 2, 3 · · · ) zu sichern.
k2
k=1
Hinweis: Man kann sich mit Hilfe des Grenzwertes obiger Reihe leicht eine obere
Schranke K für alle sn verschaffen. Für den Konvergenznachweis muß dann der
∞
P
2
1
Grenzwert
= π6 nicht berechnet werden, weil das beim gegenwärtigen Theoriek2
k=1
stand noch zu schwierig wäre.
(c) Wir betrachten die harmonische Reihe sn :=
n
P
k=1
1
k
(n = 1, 2, 3 · · · ). Zeigen Sie,
daß diese Reihe divergiert, indem Sie durch vollständige Induktion die Ungleichung
s2n > n2 für alle natürlichen Zahlen n bestätigen.
√
Aufgabe 2: Newtonsches Näherungsverfahren zur Berechnung von a:
Es sei a > 0. Man wähle eine beliebige positive Zahl x1 mit x21 ≥ a und definiere die mit
x1 beginnende Zahlenfolge (xn )n∈N nach dem folgenden Rekursionsschema:
a
1
xn +
.
(∗)
xn+1 =
2
xn
(a) Berechnen Sie für a = 2 und x√
1 = 2 die ersten fünf Folgenglieder (bis einschließlich
x5 ) sowie deren Differenz mit 2, jeweils auf acht Nachkommastellen genau. Legen
Sie hierfür eine Tabelle an.
√
(b) Zeigen Sie xan ≤ a ≤ xn für alle natürlichen Zahlen n.
Hinweis: Nach (∗) ist xn+1 der arithmetische Mittelwert von xn und
wichtige Ungleichung lässt sich deshalb auf xn+1 anwenden?
a
.
xn
Welche
(c) Zeigen Sie mit (b), daß
√ die Zahlenfolge (xn )n∈N monoton fallend ist. Da die Zahlenfolge außerdem durch a nach unten beschränkt ist, konvergiert sie nach dem Monotonieprinzip! Bestimmen Sie x := lim xn , indem Sie in (∗) auf beiden Seiten zum
n→∞
Grenzwert übergehen!
(d) Zeigen Sie mit (b) für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung
√
√ 1
0 ≤ (xn+1 − a) ≤
xn − a
(auch hier ist keine Induktion nötig!) ,
2
√
und folgern Sie hiermit auf andere Weise,
daß
(x
a konvergiert, indem
n )n∈N gegen
√
Sie eine Fehlerabschätzung für xn − a angeben!
Bitte wenden!
1
Aufgabe 3:
(a) Prüfen Sie direkt anhand der Grenzwertdefinition nach, daß die Zahlenfolge
1
an = √ ,
n
gegen 0 konvergiert.
(b) Bestimmen Sie für ε1 = 0.1, ε2 = 0.01, ε3 = 0.001 jeweils den kleinsten Index n0 , so
daß gilt:
an ∈ Uε (0)
(für ε ∈ {ε1 , ε2 , ε3 } ).
Dabei bezeichnet Uε (x) := (x − ε, x + ε) das offene ε-Intervall um eine reelle Zahl x,
hier x := 0.
Aufgabe 4: Prüfen Sie direkt anhand der Grenzwertdefinition oder mit Grenzwertsätzen
nach, daß die Zahlenfolgen
(i) an =
2n − 3
,
3n + 1
(ii) bn =
n + (−1)n
,
2n − 1
konvergieren. Geben Sie jeden Grenzwert explizit an.
Aufgabe 5∗ : (3+3 Punkte)
(a) Beweisen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion
n
X
1
k 2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1
∀n ∈ N .
(b) Berechnen Sie mit Hilfe der Teilaufgabe (a) den Grenzwert der Folge (xn )n∈N mit
n
1 X 2
xn := 3
k .
n k=1
Hinweis: Hier darf der Grenzwertsatz für zusammengesetzte Zahlenfolgen verwendet
werden.
2