¨Ubungsblatt 1 Abgabe am 22.10.2009 vor der Vorlesung im Hörsaal

P ROF. D R . J ÜRGEN K L ÜNERS
T HORSTEN L AGEMANN
F RIEDRICH PANITZ
L INEARE A LGEBRA I
W INTERSEMESTER 2009/2010
Übungsblatt 1
Abgabe am 22.10.2009 vor der Vorlesung im Hörsaal
Aufgabe 1 (4 Punkte).
Es seien M und N Mengen. Geben Sie zu folgenden Aussagen einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a) P(M ∩ N) = P(M) ∩ P(N),
(b) P(M ∪ N) = P(M) ∪ P(N).
Aufgabe 2 (4 Punkte).
Es seien M eine Menge und A, B,C Teilmengen von M. Die symmetrische Differenz A ∆ B ist
definiert durch
A ∆ B = (A ∪ B)\(A ∩ B) .
Zeigen Sie folgende Eigenschaften der symmetrischen Differenz.
(a) Berechnen Sie A ∆ B für A = {1, 2, 4, 5, 8, 9} und B = {2, 3, 4, 7, 8}.
(b) A ∆ 0/ = A (Neutralität der leeren Menge)
(c) A ∆ A = 0/ (Selbstinversität)
(d) A ∆ B = B ∆ A (Kommutativität)
(e) A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C (Assoziativität)
Aufgabe 3 (4 Punkte).
Zeigen Sie den Aufgabenteil (a) mit vollständiger Induktion und folgern Sie (b) und (c).
Für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gelten:
n
(a) ∑ (2k − 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
k=1
n
(b) ∑ 2k = 2 + 4 + 6 + . . . + (2n) = n2 + n
k=1
2n
(c) ∑ (−1)k · k = −1 + 2 − 3 + 4 − . . . + (2n) = n.
k=1
(bitte wenden)
Aufgabe 4 (4 Punkte).
Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die geometrische Summenformel.
Für beliebige reelle Zahlen x 6= 1 und natürliche Zahlen n ∈ {1, 2, 3, . . .} gilt
n
∑ xk = 1 + x + x2 + . . . + xn =
k=0
xn+1 − 1
.
x−1
Empfehlung: Veranschaulichen Sie diese Formel an der Dezimaldarstellung, zum Beispiel
111111 =
1000000 − 1
.
9